Почему сумма вероятностей в непрерывном равномерном распределении не бесконечность?

9

Функция плотности вероятности равномерного распределения (непрерывная) показана выше. Площадь под кривой равна 1, что имеет смысл, поскольку сумма всех вероятностей в распределении вероятностей равна 1.

Формально вышеуказанная функция вероятности (f (x)) может быть определена как

1 / (ba) для x в [a, b]

и 0 в противном случае

Учтите, что мне нужно выбрать действительное число между a (скажем, 2) и b (скажем, 6). Это делает равномерную вероятность = 0,25. Однако, поскольку в этом интервале бесконечное число чисел, не должна ли сумма всех вероятностей суммироваться до бесконечности? Что я пропускаю?

Не является ли f (x) вероятностью появления числа x?

probability distributions uniform

— Rahs
источник

также: math.stackexchange.com/questions/2885278/… ; stats.stackexchange.com/questions/199280/…

— Бен Болкер

1

не является функцией вероятности, это плотность вероятности функции. То есть, это не дает вам вероятность того, что

будет определенным числом, а плотность вероятности или вероятность на единицу длины вдоль оси х. Вы используетеинтеграцию,чтобы получить полную вероятность для этого типа функции, а не суммирование.

f (x)

$f(x)$

x

$x$

— Здравствуйте, до свидания

18

описываетплотность вероятности,а немассу вероятностив вашем примере. В общем, длянепрерывных распределенийнасобытия-The вещимы получаем вероятности для-являютсядиапазонызначений, таких как площадь под кривой отк , или изк (хотя такие диапазоны не должны быть смежными ). Для непрерывных распределений вероятность появления любого отдельного значения обычно равна 0. $f(x)$ $a$ $a+.1$ $a$ $b$

— Alexis
источник

Есть ли более технически точный способ сказать то, что вы пытаетесь сказать? Я волнуюсь, что «диапазон» отбросит людей, учитывая, что непрерывные распределения могут иметь дельты Дирака ...

— user541686

3

@ Mehrdad: Дельта Дирака не имеет непрерывного распределения. Правильный способ присвоения вероятности будет через

.

P (A) = \int_{A} 1 d F

$P(A) = \int_A 1dF$

— Алекс Р.

1

@AlexR .: Оф, я предположил, что под «непрерывным распределением» вы подразумевали только распределение по непрерывному домену, поскольку именно на это ссылаются люди, когда говорят, что дельта Дирака является непрерывным аналогом дельты Кронекера. Спасибо за разъяснение.

— user541686

@ Mehrdad Я думал именно о дельте Дирака, но я надеюсь, что вы заметите термин «в целом», а также очевидный уровень статистической грамотности ОП.

— Алексис

@Mehrdad Техническая формулировка случайной величины в терминах меры: существует функция от набора мощности пространства событий до интервала [0,1]. Функция плотности вероятности может быть использована в качестве меры (мера набора - это просто интеграл PDF от этого набора), но существуют меры, такие как дельта Дирака (набор имеет меру 1, если он содержит

, и ноль в противном случае), которые, строго говоря, не функционируют в традиционном смысле.

x_{0}

$x_0$

— накопление

11

Потому что каждый член в суммировании взвешивается на бесконечно малое d . Важность этого, вероятно, легче всего понять, если внимательно изучить самый простой пример. $x$

прямоугольная область $A_i$

A_{1} знак равно A_{2} знак равно 5 \times 2 знак равно 10

$A_1=A_2=5\times 2 = 10$

B_{i}

$B_i$

В_{1} знак равно В_{2} знак равно В_{3} знак равно В_{4} знак равно 5 \times 1 знак равно 5

$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$

Σ_{я знак равно 1}^{2} A_{я} знак равно Σ_{я знак равно 1}^{4} В_{я} знак равно 20

$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$

0.5

$0.5$

x

$x$

\infty

$\infty$

$\int$ $\int \text dx$

— Zxv
источник

5

$\frac{1}{\infty} = 0$

$f(x) = 1$ $x \in \left[0, 1\right]$ $f(x) = 0$ $0.2$ $0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

т.е. у вас есть 10% шанс получить результат в этом диапазоне.

^[1] Извините за всех людей с сердечными приступами из-за моего упрощения расчетов.

— Мошенник
источник

0

В общем, ваши рассуждения не верны в этом предположении:

Однако, поскольку в этом интервале бесконечное число чисел, не должна ли сумма всех вероятностей суммироваться до бесконечности?

Это математическая проблема, известная со времен парадоксов Элеа .

Два его утверждения были о том, что

Стрелка никогда не сможет достичь своей цели
Ахиллес никогда не настигнет черепаху

Оба они были основаны на утверждении, что вы можете построить бесконечную последовательность положительных чисел (в первом случае, говоря, что стрелка должна лететь бесконечно умножить на половину оставшегося пути к цели, во втором, говоря, что Ахиллес имеет достичь положения, в котором черепаха находилась ранее, и тем временем черепаха переместится в новое положение, которое станет нашей следующей исходной базовой точкой).

Перемотка вперед привела к открытию бесконечных сумм.

Таким образом, в общем случае сумма бесконечного числа положительных чисел не обязательно должна быть бесконечной ; однако, он не может быть бесконечным, только если (излишне упрощение, извините за это) почти все числа в последовательности очень близки к 0, независимо от того, насколько близко к нулю вы их запрашиваете.

Бесконечность играет еще больше трюков. Порядок , в котором вы добавляете элементы последовательности важен также и может привести к тому , что изменение порядка дает разные результаты!

Узнайте больше о парадоксах бесконечности . Вы можете быть удивлены.

— Истр
источник

Я не вижу способа интерпретировать этот вопрос так, чтобы ОП думал о счетных суммах.

— JiK

0

$f(x)$ $\frac{p}{x}$ $f(x) = \frac{1}{b-a}$ $\frac{p}{x}$

Надеюсь, это имеет смысл.

— user3719750
источник