К первому пункту Сианя: когда вы говорите об алгебрах, вы спрашиваете об измеримых множествах, поэтому, к сожалению, любой ответ должен быть сосредоточен на теории меры. Я постараюсь довести это до конца нежно.σ
Теория вероятностей, допускающая все подмножества несчетных множеств, сломает математику
Рассмотрим этот пример. Предположим, у вас есть единичный квадрат в , и вас интересует вероятность случайного выбора точки, которая является членом определенного набора в единичном квадрате. Во многих случаях на это можно легко ответить на основе сравнения областей различных наборов. Например, мы можем нарисовать несколько кругов, измерить их площади, а затем взять вероятность как долю квадрата, попадающего в круг. Очень простой.R2
Но что, если область набора интересов не является четко определенной?
Если область не является четко определенной, то мы можем сделать два разных, но вполне обоснованных (в некотором смысле) вывода о том, что это за область. Таким образом, мы могли бы иметь с одной стороны и P ( A ) = 0 с другой стороны, что влечет 0 = 1 . Это ломает всю математику без возможности восстановления. Теперь вы можете доказать 5 < 0 и ряд других нелепых вещей. Очевидно, это не слишком полезно.P(A)=1P(A)=00=15<0
алгебры - это патч, исправляющий математикуσ
Что такое алгебра, точно? На самом деле это не так страшно. Это просто определение того, какие наборы могут рассматриваться как события. Элементы не в F просто не имеют определенной вероятностной меры. По сути, σ- алгебры - это «патч», который позволяет нам избежать некоторых патологических поведений математики, а именно неизмеримых множеств.σFσ
Три требования поля можно рассматривать как последствия того, что мы хотели бы сделать с вероятностью: σ- поле - это множество, которое имеет три свойства:σσ
- Закрытие под исчисляемыми союзами.
- Закрытие под счетными пересечениями.
- Закрытие под дополнения.
Счетные объединения и компоненты счетных пересечений являются прямыми следствиями неизмеримых множеств. Закрытие под комплементами является следствием аксиом Колмогорова: если , Р ( с ) должен быть 1 / 3 . Но без (3) может случиться, что P ( A c ) не определено. Это было бы странно. Замыкание по дополнениям и аксиомы Колмогорова позволяют говорить такие вещи, как P ( A ∪ A c ) = P (P(A)=2/3P(Ac)1/3P(Ac) .P(A∪Ac)=P( А ) + 1 - П( А ) = 1
Наконец, мы рассматриваем события, связанные с , поэтому мы дополнительно требуем, чтобы Ω ∈ FΩΩ ∈ F
Хорошая новость: алгебры строго необходимы только для несчетных множествσ
Но! Здесь также есть хорошие новости. Или, по крайней мере, способ обойти проблему. Нам нужны только алгебры, если мы работаем в наборе с неисчислимым количеством элементов. Если мы ограничимся счетных множеств, то мы можем взять F = 2 Ом булеана Ом , и мы не будем иметь любой из этих проблем , потому что для счетного Ом , 2 Ω состоит только из измеримых множеств. (Это упоминается во втором комментарии Сианя.) Вы заметите, что некоторые учебники на самом деле совершают тонкую ловкость рук и рассматривают счетные множества только при обсуждении вероятностных пространств.σF= 2ΩΩΩ2Ω
Кроме того, в геометрических задачах в вполне достаточно рассматривать только σ -алгебры, составленные из множеств, для которых определена мера L n . Чтобы обосновать это несколько более твердо, L n для n = 1 , 2 , 3 соответствует обычным представлениям о длине, площади и объеме. Итак, в предыдущем примере я говорю о том, что для набора необходимо иметь четко определенную область, чтобы ему была назначена геометрическая вероятность. И причина в том, что: если мы допустим неизмеримые множества, то мы можем оказаться в ситуациях, когда мы можем присвоить вероятность 1 некоторому событию на основе некоторого доказательства, а вероятность 0 -рNσLNLNn = 1 , 2 , 3то же событие, основанное на некоторых других доказательствах.
Но не позволяйте соединению с бесчисленными множествами сбить вас с толку! Распространенное заблуждение, что алгебры являются счетными множествами. На самом деле, они могут быть исчисляемыми или неисчисляемыми. Рассмотрим эту иллюстрацию: как и раньше, у нас есть единичный квадрат. Определить F = все подмножества единичного квадрата с определенной мерой L 2 . Вы можете нарисовать квадрат B с длиной стороны s для всех s ∈ ( 0 , 1 ) и с одним углом в ( 0 , 0 )σ
F= Все подмножества единичного квадрата с заданным L2 измерения .
Вss ∈ ( 0 , 1 )( 0 , 0 ), Должно быть понятно, что этот квадрат является подмножеством единичного квадрата. Более того, все из этих квадратов определили площадь, так что эти квадраты являются элементами
. Но также должно быть ясно, что существует бесчисленное количество квадратов
B : число таких квадратов неисчислимо, и каждый квадрат определил меру Лебега.
FВ
Поэтому на практике достаточно просто сделать это наблюдение достаточным для того, чтобы сделать наблюдение, в котором вы рассматриваете только измеримые по Лебегу множества, чтобы добиться прогресса в решении проблемы интересов.
Но подождите, что такое неизмеримый набор?
Боюсь, я могу только пролить немного света на это сам. Но парадокс Банаха-Тарского (иногда парадокс «солнца и гороха») может нам помочь:
Для заданного сплошного шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств, которые затем можно соединить по-разному, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение деталей и их вращение без изменения их формы. Однако сами кусочки являются не «твердыми телами» в обычном смысле, а бесконечным рассеянием точек. Реконструкция может работать всего с пятью частями.
Более сильная форма теоремы подразумевает, что при наличии любых двух «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) любой из них может быть повторно собран в другой. Об этом часто говорят неформально: «горох можно нарезать и снова собрать в Солнце» и называют «парадоксом гороха и солнца». 1
Поэтому, если вы работаете с вероятностями в и используете геометрическую меру вероятности (соотношение объемов), вы хотите определить вероятность какого-либо события. Но вы будете изо всех сил пытаться точно определить эту вероятность, потому что вы можете изменить наборы своего пространства, чтобы изменить объемы! Если вероятность зависит от объема, и вы можете изменить объем набора на размер солнца или размер гороха, то вероятность также изменится. Поэтому ни одному событию не будет приписано ни одной вероятности. Хуже того, вы можете переставить S ∈ Ω так, чтобы объем S имел V ( S ) > V ( Ω )р3S∈ ΩSВ( S) > V( Ω )Это означает, что геометрическая мера вероятности сообщает о вероятности , что является грубым нарушением аксиом Колмогорова, которые требуют, чтобы мера вероятности имела меру 1.п( S) > 1
Чтобы разрешить этот парадокс, можно сделать одну из четырех уступок:
- Громкость набора может измениться, когда он вращается.
- Объем объединения двух непересекающихся множеств может отличаться от суммы их объемов.
- Аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), возможно, придется изменить.
- Некоторые наборы могут быть помечены как «неизмеримые», и нужно будет проверить, является ли набор «измеримым», прежде чем говорить о его объеме.
σ