Непредвзятая оценка медианы

Предположим, у нас есть случайная переменная поддерживаемая на [ 0 , 1 ], из которой мы можем извлечь образцы. Как мы можем придумать объективную оценку медианы $X$$[0,1]$$X$ ?

Конечно, мы можем сгенерировать несколько образцов и взять их медиану, но я понимаю, что в целом это не будет беспристрастным.

Примечание: этот вопрос связан, но не идентичен, с моим последним вопросом , и в этом случае выборка возможна только приблизительно.$X$

Такой оценки не существует.

Интуиция заключается в том, что медиана может оставаться фиксированной, в то время как мы свободно смещаем плотность вероятности по обе стороны от нее, так что любой оценщик, среднее значение которого является медианой для одного распределения, будет иметь другое среднее значение для измененного распределения, делая его смещенным. Следующая экспозиция придает немного большей строгости этой интуиции.

Мы сосредоточены на распределение , имеющий уникальные медианы м , так что по определению F ( м ) ≥ 1 / 2 и Р ( х ) < 1 / 2 для всех х < м . Зафиксируйте размер выборки n ≥ 1 и предположим, что t : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] оценивает m . (Достаточно того, что $F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$быть ограничены только, но , как правило , один серьезно не считают оценщики , которые производят явно невозможные значения) Мы не делаем. нет предположений о ; это даже не должно быть непрерывным где-либо.$t$

Смысл быть беспристрастным (для этого фиксированного размера выборки) заключается в том, что$t$

для любого н.о.р. образца с . «Несмещенная оценка» т является один с этим свойством для всех таких F .$X_i \sim F$$t$$F$

Предположим, существует объективная оценка. Мы выведем противоречие, применив его к особенно простому набору распределений. Рассмотрим распределения имеющие следующие свойства:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. ;$0 \le x \lt y \le 1$

2. ;$0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$

3. ;$x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$

4. ;$\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$

5. ; и$\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$

6. равномерно на [ m - ε , m + ε ] .$F$$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Эти распределения помещают вероятность в каждое из x и y, и небольшое количество вероятности симметрично размещается вокруг m между x и y . Это делает м уникальный медиану F . (Если вы обеспокоены тем, что это не непрерывное распределение, то сверите его с очень узким гауссовым распределением и обрежьте результат до [ 0 , 1 ] : аргумент не изменится.)$(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$$m$$F$$[0,1]$

Теперь, для любого предполагаемых медианных оценок , его можно легко оценка показывает , что E [ т ( Х 1 , Х 2 , ... , X п ) ] строго в пределах е от средней величины 2 п значений т ( х 1 , х 2 , … , X n ) где x i изменяется во всех возможных комбинациях x и y . Тем не менее, мы можем варьировать $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$между и y - ε - изменение не менее ε (в силу условий 2 и 3). Таким образом, существует m , и, следовательно, соответствующее распределение F x , y , m , ε , для которого это ожидание не равно медиане, QED.$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$

Finding an unbiased estimator without having a parametric model would be difficult! But you could use bootstrapping, and use that to correct the empirical median to get an approximately unbiased estimator.

I believe quantile regression will give you a consistent estimator of the median. Given the model $Y = \alpha + u$. And you want to estimate $\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$ since $\alpha$ is a constant. All you need is the $\text{med}(u) = 0$ which should be true so long as you have independent draws. However, as far as unbiasedness, I don't know. Medians are difficult.