К успехам в испытаниях Бернулли или эксперименте с Джорджем Лукасом

Я сейчас читаю «Путь пьяницы» и не могу понять из этого ни одной истории.

Здесь это идет:

Представьте, что Джордж Лукас снимает новый фильм «Звездные войны» и на одном тестовом рынке решает провести сумасшедший эксперимент. Он выпускает идентичный фильм под двумя названиями: «Звездные войны: Эпизод A» и «Звездные войны: Эпизод B». Каждый фильм имеет свою собственную маркетинговую кампанию и график распространения, с соответствующими идентичными деталями, за исключением того, что трейлеры и рекламные объявления для одного фильма говорят «Эпизод A», а для другого - «Эпизод B».

Теперь мы делаем конкурс из этого. Какой фильм будет более популярным? Скажем, мы смотрим на первые 20000 зрителей и записываем фильм, который они выбирают для просмотра (игнорируя тех преданных фанатов, которые пойдут на оба, а затем настаивают на том, что между ними есть тонкие, но значимые различия). Поскольку фильмы и их маркетинговые кампании идентичны, мы можем математически смоделировать игру следующим образом: представьте, что выстраиваете всех зрителей подряд и подбрасываете монеты каждому зрителю по очереди. Если монета приземляется, он или она видит Эпизод A; если монета приземляется, это Эпизод B. Поскольку у монеты есть равные шансы на успех в любом случае, вы можете подумать, что в этой экспериментальной кассовой войне каждый фильм должен лидировать примерно в половине случаев.

Но математика случайности говорит об обратном: наиболее вероятное число изменений в отведении равно 0, и в 88 раз более вероятно, что один из двух фильмов пройдет через всех 20 000 клиентов, чем, скажем, то, что лидерство постоянно качается "

Я, вероятно, ошибочно приписываю это простой проблеме испытаний Бернулли, и должен сказать, что я не понимаю, почему лидер не качается в среднем! Кто-нибудь может объяснить?

Вот некоторый код R для имитации эксперимента Джорджа Лукаса:

B<-20000
steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
rw<-cumsum(steps)
ts.plot(rw,xlab="Number of customers",ylab="Difference")

Запустив его, мы получим фотографии, подобные этим:

где разница в проданных билетах между A и B находится на оси Y.

Далее, мы проводим таких моделируемых экспериментов Джорджа Лукаса. Для каждого эксперимента мы рассчитываем долю потраченного времени ≥ 0 , т. Е. Пропорцию выстроенных в очередь зрителей, для которых количество билетов, проданных А, больше или равно количеству билетов, проданных Б. Интуитивно, вы бы сказать , что эта доля должна быть примерно 1 / 2 . Вот гистограмма результатов:$10,000$$\geq 0$$1/2$

Доля составляет в среднем в том смысле , что ожидаемое значение равно 1 / 2 , но 1 / 2 является маловероятным значение по сравнению со значениями , близкими к 0 или 1 . Для большинства экспериментов различия в большинстве случаев либо положительные, либо отрицательные!$1/2$$1/2$$1/2$$0$$1$

Красная кривая является функцией плотности распределения арксинуса, также известный как распределения$\mbox{Beta}(1/2,1/2)$ . На изображении выше показана теорема, известная как первый закон Арсине для случайных блужданий , которая гласит, что по мере того, как число шагов простого симметричного случайного блуждания приближается к бесконечности, распределение доли времени, проведенного выше стремится к арксинусное распределение. Стандартная ссылка на этот результат - раздел III.4 « Введение в теорию вероятностей и ее приложения», том 1 Уильяма Феллера.$0$

R код для симуляции исследования

prop<-vector(length=10000)
for(i in 1:10000)
{
    steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
    rw<-cumsum(steps)
    prop[i]<-sum(rw>=0)/B
}
hist(prop,freq=FALSE,xlab="Proportion of time spent above 0",main="George Lucas experiment")
curve(dbeta(x,1/2,1/2),0,1,col=2,add=TRUE)

$1/2$$t$$t=1$$3/4$$t=3$$t$

$1$$1$

$20,000$

Если вы хотите вычислить некоторые вероятности, вы должны посчитать что-то похожее на решетчатые блуждания, которые не пересекают диагональ. Существует отличный комбинаторный метод, который применяется к случайным блужданиям (и к броуновскому движению), которые не пересекают такую ​​линию, называется принципом отражения или методом отражения . Это один из методов определения каталонских чисел . Вот два других приложения:

$A$$10,200-9,800$$20,000 \choose 9,800$$(10,200, 9,800)$$B$$B$$B$$(9,799, 10,201)$$(10,200, 9,800)$$B$${20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 10,201} = {20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 9,799} = {20,000 \choose 9,800} \frac{401}{10,201}.$$B$$(10,200, 9,800),$$96\%$

$A$${20,000 \choose 10,000} \approx 2^{20,000}/\sqrt{10,000 \pi}.$$A$$\frac{1}{100 \sqrt{\pi}}$$\frac{1}{50 \sqrt{\pi}} \approx 1/89.$$56$

«в 88 раз более вероятно, что один из двух фильмов пройдет через все 20 000 клиентов, чем, скажем, постоянные качели»

Говоря простым языком: один из фильмов выходит на первое место. Это должно произойти, так как первый покупатель должен пойти в А или Б. Этот фильм с такой же вероятностью сохранит лидерство, как и потеряет его.

Звучит в 88 раз чаще , ну, вряд ли, пока вы не вспомните, что совершенный качели очень маловероятны. Диаграмма в ответе MansT , показывающая это графически, удивительна, не так ли?

В сторону: Лично я думаю, что это будет более чем в 88 раз - из-за <buzzword-alert>вирусного маркетинга </buzzword-alert>. Каждый человек спросит других, что они видели, и с большей вероятностью посетит тот же фильм. Они даже сделают это подсознательно: люди с большей вероятностью присоединятся к длинной очереди, чтобы что-то посмотреть. То есть, как только случайность среди первых нескольких клиентов создала лидера, человеческая психология сохранит его как лидера :-).