Какое распределение использовать для моделирования времени до прибытия поезда?

15

Я пытаюсь смоделировать некоторые данные о времени прибытия поезда. Я хотел бы использовать дистрибутив, который фиксирует «чем дольше я жду, тем больше вероятность того, что поезд появится» . Похоже, что такой дистрибутив должен выглядеть как CDF, так что P (Train Train Up | Ожидал 60 минут) близко к 1. Какой дистрибутив подходит для использования здесь?

distributions modeling

— Foobar
источник

10

Если вы ждете 25 часов и поезда не было, я подозреваю, что вероятность появления поезда в следующую минуту может быть близка к

0

$0$ поскольку вполне возможно, что линия была временно или окончательно закрыта

— Генри

@ Генри, это полностью зависит от вашей веры в предыдущие вероятности. Например, наименее используемая железнодорожная станция в Британии theguardian.com/uk-news/2016/dec/09/… имеет пробелы в прибытии более одного дня (по воскресеньям обслуживание отсутствует).

— Секст Эмпирик

@MartijnWeterings - возможно, благодаря журналистам, количество пользователей Shippea Hill увеличилось на 1200% и даже не достигло 10 самых низких показателей использования в следующем году , некоторые из которых, такие как аэропорт Тиссайд, имеют один поезд в неделю в одном направлении

— Генри

17

Умножение двух вероятностей

Вероятность первого прибытия в момент времени между $t$ и $t+dt$ (время ожидания) равна умножению

вероятность прибытия между $t$ и $t+dt$ (которая может быть связана со скоростью прибытия $s(t)$ в момент времени $t$ )
и вероятность не прибытия до времени $t$ (иначе он не был бы первым).

Этот последний термин связан с:

P (n = 0, t + d t) = (1 - s (t) d t) P (n = 0, t)

$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$

или

\frac{\partial P (n = 0, t)}{\partial t} = - s (t) P (n = 0, t)

$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$

давая:

P (n = 0, t) = e^{\int_{0}^{t} - s (t) d t}

$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$

и распределение вероятностей для времени ожидания:

f (t) = s (t) e^{\int_{0}^{t} - s (t) d t}

$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$

Вывод совокупного распределения.

В качестве альтернативы вы можете использовать выражение для вероятности менее чем одного прибытия при условии, что время $t$

P (n < 1 | t) = F (n = 0; t)

$P(n<1|t) = F(n=0;t)$

и вероятность прибытия между временем $t$ и $t+dt$ равна производной

f_{arrival time} (t) = - \frac{d}{d t} F (n = 0 | t)

$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$

Этот подход / метод полезен, например, для получения гамма-распределения как времени ожидания n-го прихода в пуассоновском процессе. (время ожидания пуассоновского процесса, следующего за гамма-распределением )

Два примера

Вы можете связать это с парадоксом ожидания ( пожалуйста, объясните парадокс ожидания ).

Экспоненциальное распределение: если поступления являются случайными, как процесс Пуассона, то $s(t) = \lambda$ является постоянным. Вероятность следующего заезда не зависит от предыдущего времени ожидания без заезда (скажем, если вы бросаете правильные кости много раз без шести, то для следующего броска у вас не будет внезапно более высокой вероятности за шесть, см. Ошибку игрока ) , Вы получите экспоненциальное распределение, и pdf для времени ожидания:
$f (t) = λ e^{- λ t}$ $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$
$T$ $t$ $s(t) = 1/(T-t)$
$f (t) = \frac{e^{\int_{0}^{t} - \frac{1}{T - t} d t}}{T - t} = \frac{1}{T}$ $f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$ $0$ $T$

Так что это второй случай, с «вероятность того, что человек уже некоторое время ждал, возрастает». , относится к вашему вопросу.

$s(t) dt$ что поезд прибудет в определенный момент, может быть более сложной функцией.

Автор StackExchangeStrike

— Секст Эмпирик
источник

7

Классическим распределением для моделирования времени ожидания является экспоненциальное распределение .

Экспоненциальное распределение происходит естественным образом при описании длин времен прихода в однородном пуассоновском процессе.

— Стефан Коласса
источник

2

Да, но я полагаю, что процесс Пуассона не является хорошей моделью для сети поездов.

— оставил около