Можно ли распространить критерий Мантеля на асимметричные матрицы?

Тест Мантеля обычно применяется к симметричным матрицам расстояний / разностей. Насколько я понимаю, предположение теста состоит в том, что мера, используемая для определения различий, должна быть, по крайней мере, полуметрической (соответствовать стандартным требованиям метрики, но не неравенству треугольника).

Может ли предположение о симметрии быть ослаблено (давая предварительную метрику)? Можно ли применить тест перестановки в этом случае, используя полную матрицу?

Это не должно быть расширено. Оригинальный тест Мантеля, представленный в статье Мантеля 1967 года , допускает асимметричные матрицы. Напомним , что этот тест сравнивает два $n\times n$ расстояния матриц и .$X$$Y$

На этом этапе мы можем ожидать изменения нашей статистики, которые упростят статистические процедуры, которые будут разработаны ниже. Модификация состоит в том, чтобы удалить ограничение и заменить его только ограничением . Где и , эффект модификации состоит в том, чтобы просто удвоить значение суммирования. Однако разработанные затем процедуры являются подходящими, даже если отношения расстояний не являются симметричными, то есть когда возможно, что X_ {ij} \ ne X_ {ji} и Y_ {ij} \ ne Y_ {ji} ; в данном случае рассматривается конкретный случай, где X_ {ij} = -X_ {ji}, Y_ {ij} = -Y_ {ji} ...i ≠ j X i j = X j i Y i j = Y j $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ Y i j ≠ Y j i X i j = - X j i , Y i j = - Y j $X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(в разделе 4; акцент добавлен).

Симметрия представляется искусственным условием во многих программах, таких как ade4пакет R, в котором используются объекты класса dist для хранения и манипулирования матрицами расстояний. Функции манипуляции предполагают, что расстояния симметричны. По этой причине вы не можете применить эту mantel.rtestпроцедуру к асимметричным матрицам, но это чисто программное ограничение, а не свойство самого теста.

Сам тест, по-видимому, не требует каких-либо свойств матриц. Очевидно (в силу явной ссылки на антисимметричные ссылки в конце предыдущего отрывка) даже не требуется, чтобы записи в или были положительными. Это просто тест перестановки, который использует некоторую меру корреляции двух матриц (рассматриваемых как векторы с элементами) в качестве статистики теста.Y n $X$$Y$$n^2$

В принципе мы можем перечислитьвозможные перестановки наших данных, вычислите [тестовую статистику] для каждой перестановки и получите нулевое распределение по которому можно судить по наблюдаемому значениюZ Z $n!$$Z$$Z$$Z$

[ Там же. ]

Фактически, Мантель явно указал, что матрицы не должны быть матрицами расстояний, и он подчеркнул важность этой возможности :

Формулы общего случая подойдут также для случаев, когда и не следуют арифметическим и геометрическим закономерностям, наложенным в задаче кластеризации; например , . Это применимость общей процедуры к произвольным и , которая лежит в основе ее распространения на более широкий круг задач ...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(Пример утверждает неравенство треугольника.)

В качестве примера он предложил «исследование межличностных отношений», в котором «у нас есть индивидов и 2 разных меры, симметричных или асимметричных , относящих каждого индивида к оставшимся » (выделение добавлено).$n$$n-1$

В приложении Мантель вывел «перестановочную дисперсию , не делая более сильного предположения, чем то, что диагональные элементы матриц являются константами, потенциально ненулевыми.$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

В заключение, с самого начала каждая из метрических аксиом была явно рассмотрена и отклонена как несущественная для теста:

1. «Расстояния» могут быть отрицательными.

2. «Расстояния» между объектом и самим собой могут быть ненулевыми.

3. Треугольное неравенство не обязательно должно соблюдаться.

4. «Расстояния» не обязательно должны быть симметричными.

В заключение я отмечу, что предлагаемая статистика Мантеля, , может плохо работать для несимметричных расстояний. Задача состоит в том, чтобы найти тестовую статистику , которая эффективно выделяет два таких матриц: использование , что в тесте перестановки вместо суммы произведений.$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Это пример теста в R. Учитывая две матрицы расстояний xи y, он возвращает выборку распределения перестановок (как вектор значений тестовой статистики). Это не требует xили не yимеет каких-либо особых свойств вообще. Они должны быть одинакового размера с квадратной матрицей.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}