Теорема о представлении де Финетти в рамках субъективистской интерпретации вероятностей дает единый смысл статистических моделей и значения параметров и их предыдущих распределений.
Предположим, что случайные величины представляют результаты последовательных бросков монеты, значения и соответствуют результатам «Головки» и «Хвосты» соответственно. Анализируя в контексте субъективистской интерпретации исчисления вероятности значение обычной частотной модели, согласно которой независимы и одинаково распределены, Де Финетти заметил, что условие независимости подразумевает, например, что
и, следовательно, результаты первого броски не изменили бы мою неуверенность относительно результатаX1,…,Xn10Xi
P{Xn=xn∣X1=x1,…,Xn−1=xn−1}=P{Xn=xn},
n−1n-й бросок Например, если я верю том, что это сбалансированная монета, то после получения информации о том, что первые бросков оказались «головами», я бы все же полагал, условно на эту информацию, что Вероятность получения «Головки» на броске 1000 равна . По сути, гипотеза о независимости подразумевает, что невозможно ничего узнать о монете, наблюдая за результатами ее бросков.
a priori9991/2Xi
Это наблюдение привело Де Финетти к введению условия, более слабого, чем независимость, которое разрешает это очевидное противоречие. Ключом к решению Де Финетти является своего рода распределительная симметрия, известная как взаимозаменяемость.
Definition. Для заданного конечного набора случайных объектов пусть обозначает их совместное распределение. Этот конечный набор можно заменить, если , для каждой перестановки . Последовательность случайных объектов является заменяемой, если каждое из ее конечных подмножеств является взаимозаменяемым.{Xi}ni=1μX1,…,XnμX1,…,Xn=μXπ(1),…,Xπ(n)π:{1,…,n}→{1,…,n}{Xi}∞i=1
Предполагая только, что последовательность случайных величин является взаимозаменяемой, Де Финетти доказал заметную теорему, которая проливает свет на значение широко используемых статистических моделей. В конкретном случае, когда принимают значения и , теорема о представлении Де Финетти говорит, что можно заменить, если и только если есть случайная величина , с распределением , таким, что
в котором . Более того, у нас есть это
{Xi}∞i=1Xi01{Xi}∞i=1Θ:Ω→[0,1]μΘ
P{X1=x1,…,Xn=xn}=∫[0,1]θs(1−θ)n−sdμΘ(θ),
s=∑ni=1xiX¯n=1n∑i=1nXi−→−−n→∞Θalmost surely,
который известен как сильный закон больших чисел де Финетти.
Эта теорема о представлении показывает, как возникают статистические модели в байесовском контексте: согласно гипотезе взаимозаменяемости наблюдаемых , a так что при заданном значении наблюдаемые являются независимыми и одинаково распределенными. Более того, строгий закон де Финетти показывает, что наше предварительное мнение о ненаблюдаемой , представленной распределением , является мнением о пределе , прежде чем мы получим информацию о значениях реализаций. любого из{Xi}∞i=1there isparameter ΘΘconditionallyΘμΘX¯nXi«S. Параметр играет роль полезной вспомогательной конструкции, которая позволяет нам получать условные вероятности, включающие только наблюдаемые, через отношения типа
Θ
P{Xn=1∣X1=x1,…,Xn−1=xn−1}=E[Θ∣X1=x1,…,Xn−1=xn−1].