Сохраняется ли стационарность при линейной комбинации?

Представьте, что у нас есть два процесса временных рядов, которые являются стационарными и производят: .$x_t,y_t$

Является ли , также стационарным? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Любая помощь будет оценена.

Я бы сказал, да, так как он имеет представление МА.

Возможно, удивительно, это не так. (Независимость двух временных рядов сделает это правдой.)

Я понимаю, что «стабильный» означает стационарный, потому что эти слова используются взаимозаменяемо в миллионах поисковых запросов, включая, по крайней мере, одно на нашем сайте .

Для противоположного примера, пусть - непостоянный стационарный временной ряд, для которого каждый не зависит от , и граничные распределения которого симметричны относительно . определять$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

На этих графиках показаны части трех временных рядов, обсуждаемых в этом посте. был смоделирован как серия независимых розыгрышей из стандартного нормального распределения.$X$

Чтобы показать, что является стационарным, мы должны продемонстрировать, что совместное распределение для любого не зависит от . Но это следует непосредственно из симметрии и независимости . $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Эти лаговые диаграммы рассеяния (для последовательности из 512 значений ) иллюстрируют утверждение о том, что совместные двумерные распределения являются ожидаемыми: независимыми и симметричными. («Лаганая диаграмма рассеяния» отображает значения против ; показаны значения .)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Тем не менее, выбрав , мы имеем$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

для четного и в противном случае$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Поскольку является константой, очевидно, что эти два выражения имеют разные распределения для любых и , поэтому ряд не является стационарным. Цвета на первом рисунке подчеркивают эту нестационарность в , отделяя нулевые значения от остальных.$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Рассмотрим двумерный процесс

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Если оно является строго стационарным, или в качестве альтернативы, если процессы и являются совместно строго стационарным , то процесс , образованный любой измеримой функции также будет строго стационарным.$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

В примере @ whuber мы имеем

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Чтобы проверить, является ли этот строго стационарным, мы должны сначала получить его распределение вероятностей. Предположим, что переменные абсолютно непрерывны. Для некоторого имеем$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Придерживаясь примера whuber, две ветви - это разные распределения вероятностей, потому что имеет распределение, симметричное относительно нуля. $x_t$

Теперь, чтобы проверить строгую стационарность, сдвиньте индекс на целое число . У нас есть$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Для строгой стационарности мы должны иметь

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

И у нас нет этого равенства , потому что, скажем, если четное и нечетное, то нечетное, и в этом случае$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

пока

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Таким образом, у нас нет совместной строгой стационарности, и тогда у нас нет никаких гарантий относительно того, что произойдет с функцией . $f(x_t,y_t)$

Я должен указать, что зависимость между и , является необходимым, но не достаточным условием потери совместной строгой стационарности. Это дополнительное предположение зависимости от индекса, который делает работу.$x_t$$y_t$$y_t$

Рассмотреть возможность

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Если вы предыдущую работу для то обнаружите, что совместная строгая стационарность имеет место здесь.$(q_t)$

Это хорошая новость, потому что процесс, зависящий от индекса и являющийся строго стационарным, не входит в число предположений моделирования, которые мы должны делать очень часто. Поэтому на практике, если мы имеем предельную строгую стационарность, мы ожидаем также совместной строгой стационарности даже при наличии зависимости (хотя мы, конечно, должны проверить).

Я бы сказал, да, так как он имеет представление МА.

Одно наблюдение. Я думаю, что представление МА подразумевает слабую стационарность, но не уверен, что оно подразумевает сильную стационарность.