Почему Lars и Glmnet предлагают разные решения проблемы Лассо?

22

Я хочу лучше понять пакеты R Larsи Glmnet, которые используются для решения проблемы Лассо: (для переменных и выборок, см. www.stanford.edu/~hastie/Papers/glmnet.pdf на стр. 3)

м я N_{(β_{0} β) \in р^{п + 1}} [\frac{1}{2 N} Σ_{я знак равно 1}^{N} (Y_{я} - β_{0} - {Икс}_{я}^{T} β)^{2} + λ | | β | |_{L_{1}}]

$min_{(\beta_0 \beta) \in R^{p+1}} \left[\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^{N}(y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 + \lambda||\beta ||_{l_{1}} \right]$

p

$p$

N

$N$

Поэтому я применил их обоих к одному и тому же набору игрушечных данных. К сожалению, оба метода не дают одинаковых решений для одного и того же ввода данных. У кого-нибудь есть идея, откуда берется эта разница?

Я получил результаты следующим образом: После генерации некоторых данных (8 образцов, 12 объектов, дизайн Тёплица, все по центру) я вычислил весь путь Лассо, используя Lars. Затем я запустил Glmnet, используя последовательность лямбда-выражений, вычисленную Ларсом (умноженную на 0,5), и надеялся получить то же решение, но я этого не сделал.

Видно, что решения похожи. Но как я могу объяснить различия? Пожалуйста, найдите мой код ниже. Здесь есть связанный вопрос: GLMNET или LARS для вычисления решений LASSO? , но он не содержит ответа на мой вопрос.

Настроить:

# Load packages.
library(lars)
library(glmnet)
library(MASS)

# Set parameters.
nb.features <- 12
nb.samples <- 8
nb.relevant.indices <- 3
snr <- 1
nb.lambdas <- 10

# Create data, not really important. 
sigma <- matrix(0, nb.features, nb.features)
for (i in (1:nb.features)) {
  for (j in (1:nb.features)) {
    sigma[i, j] <- 0.99 ^ (abs(i - j))
  }
}

x <- mvrnorm(n=nb.samples, rep(0, nb.features), sigma, tol=1e-6, empirical=FALSE)
relevant.indices <- sample(1:nb.features, nb.relevant.indices, replace=FALSE)
x <- scale(x)
beta <- rep(0, times=nb.features)
beta[relevant.indices] <- runif(nb.relevant.indices, 0, 1)
epsilon <- matrix(rnorm(nb.samples),nb.samples, 1)
simulated.snr <-(norm(x %*% beta, type="F")) / (norm(epsilon, type="F"))
epsilon <- epsilon * (simulated.snr / snr)
y <- x %*% beta + epsilon
y <- scale(y)

Lars:

la <- lars(x, y, intercept=TRUE, max.steps=1000, use.Gram=FALSE)
co.lars <- as.matrix(coef(la, mode="lambda"))
print(round(co.lars, 4))

#          [,1] [,2] [,3]   [,4]   [,5]   [,6]    [,7]   [,8]    [,9]   [,10]
#  [1,]  0.0000    0    0 0.0000 0.0000 0.0000  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [2,]  0.0000    0    0 0.0000 0.0000 0.1735  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [3,]  0.0000    0    0 0.2503 0.0000 0.4238  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [4,]  0.0000    0    0 0.1383 0.0000 0.7578  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [5,] -0.1175    0    0 0.2532 0.0000 0.8506  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [6,] -0.3502    0    0 0.2676 0.3068 0.9935  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [7,] -0.4579    0    0 0.6270 0.0000 0.9436  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [8,] -0.7848    0    0 0.9970 0.0000 0.9856  0.0000 0.0000  0.0000  0.0000
#  [9,] -0.3175    0    0 0.0000 0.0000 3.4488  0.0000 0.0000 -2.1714  0.0000
# [10,] -0.4842    0    0 0.0000 0.0000 4.7731  0.0000 0.0000 -3.4102  0.0000
# [11,] -0.4685    0    0 0.0000 0.0000 4.7958  0.0000 0.1191 -3.6243  0.0000
# [12,] -0.4364    0    0 0.0000 0.0000 5.0424  0.0000 0.3007 -4.0694 -0.4903
# [13,] -0.4373    0    0 0.0000 0.0000 5.0535  0.0000 0.3213 -4.1012 -0.4996
# [14,] -0.4525    0    0 0.0000 0.0000 5.6876 -1.5467 1.5095 -4.7207  0.0000
# [15,] -0.4593    0    0 0.0000 0.0000 5.7355 -1.6242 1.5684 -4.7440  0.0000
# [16,] -0.4490    0    0 0.0000 0.0000 5.8601 -1.8485 1.7767 -4.9291  0.0000
#         [,11]  [,12]
#  [1,]  0.0000 0.0000
#  [2,]  0.0000 0.0000
#  [3,]  0.0000 0.0000
#  [4,] -0.2279 0.0000
#  [5,] -0.3266 0.0000
#  [6,] -0.5791 0.0000
#  [7,] -0.6724 0.2001
#  [8,] -1.0207 0.4462
#  [9,] -0.4912 0.1635
# [10,] -0.5562 0.2958
# [11,] -0.5267 0.3274
# [12,]  0.0000 0.2858
# [13,]  0.0000 0.2964
# [14,]  0.0000 0.1570
# [15,]  0.0000 0.1571

glmnet с лямбда = (lambda_lars / 2):

glm2 <- glmnet(x, y, family="gaussian", lambda=(0.5 * la$lambda), thresh=1e-16)
co.glm2 <- as.matrix(t(coef(glm2, mode="lambda")))
print(round(co.glm2, 4))

#     (Intercept)      V1 V2 V3     V4     V5     V6      V7     V8      V9
# s0            0  0.0000  0  0 0.0000 0.0000 0.0000  0.0000 0.0000  0.0000
# s1            0  0.0000  0  0 0.0000 0.0000 0.0000  0.0000 0.0000  0.0000
# s2            0  0.0000  0  0 0.2385 0.0000 0.4120  0.0000 0.0000  0.0000
# s3            0  0.0000  0  0 0.2441 0.0000 0.4176  0.0000 0.0000  0.0000
# s4            0  0.0000  0  0 0.2466 0.0000 0.4200  0.0000 0.0000  0.0000
# s5            0  0.0000  0  0 0.2275 0.0000 0.4919  0.0000 0.0000  0.0000
# s6            0  0.0000  0  0 0.1868 0.0000 0.6132  0.0000 0.0000  0.0000
# s7            0 -0.2651  0  0 0.2623 0.1946 0.9413  0.0000 0.0000  0.0000
# s8            0 -0.6609  0  0 0.7328 0.0000 1.6384  0.0000 0.0000 -0.5755
# s9            0 -0.4633  0  0 0.0000 0.0000 4.6069  0.0000 0.0000 -3.2547
# s10           0 -0.4819  0  0 0.0000 0.0000 4.7546  0.0000 0.0000 -3.3929
# s11           0 -0.4767  0  0 0.0000 0.0000 4.7839  0.0000 0.0567 -3.5122
# s12           0 -0.4715  0  0 0.0000 0.0000 4.7915  0.0000 0.0965 -3.5836
# s13           0 -0.4510  0  0 0.0000 0.0000 5.6237 -1.3909 1.3898 -4.6583
# s14           0 -0.4552  0  0 0.0000 0.0000 5.7064 -1.5771 1.5326 -4.7298
#         V10     V11    V12
# s0   0.0000  0.0000 0.0000
# s1   0.0000  0.0000 0.0000
# s2   0.0000  0.0000 0.0000
# s3   0.0000  0.0000 0.0000
# s4   0.0000  0.0000 0.0000
# s5   0.0000 -0.0464 0.0000
# s6   0.0000 -0.1293 0.0000
# s7   0.0000 -0.4868 0.0000
# s8   0.0000 -0.8803 0.3712
# s9   0.0000 -0.5481 0.2792
# s10  0.0000 -0.5553 0.2939
# s11  0.0000 -0.5422 0.3108
# s12  0.0000 -0.5323 0.3214
# s13 -0.0503  0.0000 0.1711
# s14  0.0000  0.0000 0.1571

— Andre
источник

20

Наконец мы смогли создать одно и то же решение с помощью обоих методов! Первая проблема заключается в том, что glmnet решает проблему лассо, как указано в вопросе, но lars имеет немного другую нормализацию в целевой функции, он заменяет на . Во-вторых, оба метода нормализуют данные по-разному, поэтому нормализацию необходимо отключить при вызове методов. $\frac{1}{2N}$ $\frac{1}{2}$

Чтобы воспроизвести это и увидеть, что те же решения для проблемы лассо могут быть вычислены с использованием lars и glmnet, необходимо изменить следующие строки в приведенном выше коде:

la <- lars(X,Y,intercept=TRUE, max.steps=1000, use.Gram=FALSE)

в

la <- lars(X,Y,intercept=TRUE, normalize=FALSE, max.steps=1000, use.Gram=FALSE)

а также

glm2 <- glmnet(X,Y,family="gaussian",lambda=0.5*la$lambda,thresh=1e-16)

в

glm2 <- glmnet(X,Y,family="gaussian",lambda=1/nbSamples*la$lambda,standardize=FALSE,thresh=1e-16)

— Andre
источник

1

Я рад, что ты понял это. Любые мысли о том, какой метод нормализации имеет больше смысла? Я фактически получил худшие результаты, используя нормализацию в glmnet (для лассо), и я все еще не уверен, почему.

— Бен Огорек

Я на самом деле нормализую данные и применяю эти методы и сравниваю, если они похожи. Обычно переменные с меньшими эффектами имеют разные коэффициенты

— KarthikS

0

Очевидно, что если методы используют разные модели, вы получите разные ответы. Вычитание членов перехвата не приводит к модели без перехвата, потому что изменятся наилучшие подходящие коэффициенты, и вы не измените их так, как подходите к ним. Вам нужно использовать одну и ту же модель для обоих методов, если вы хотите получить одинаковые или почти одинаковые ответы.

— Майкл Р. Черник
источник

1

Да, вы правы, методы используют несколько разные модели, я не знал об этом. Спасибо за подсказку. (Я объясню различия более подробно в отдельном ответе)

— Andre

-2

Результаты должны быть одинаковыми. Пакет lars по умолчанию использует type = "lar", измените это значение на type = "lasso". Просто уменьшите параметр 'thresh = 1e-16' для glmnet, так как спуск по координатам основан на сходимости.

— Маркул Лопес Круз
источник

2

Спасибо за ваш ответ. Может быть, я неправильно истолковываю это, но, похоже, это противоречит резолюции, опубликованной в ответе Андре шесть лет назад. Пожалуйста, подумайте над тем, чтобы разработать свой пост, чтобы включить более полное объяснение того, что вы пытаетесь сказать, и показать, почему мы должны верить, что это правильно, а другое - нет.

— whuber