Как работает стандартная ошибка?

Недавно я изучил внутреннюю работу стандартной ошибки и не смог понять, как она работает. Мое понимание стандартной ошибки заключается в том, что это стандартное отклонение распределения выборочных средних. Мои вопросы:

• как мы узнаем, что стандартная ошибка означает стандартное отклонение выборки, когда мы обычно берем только одну выборку?

• почему уравнение для расчета стандартной ошибки не отражает уравнение стандартного отклонения для одной выборки?

Да, стандартная ошибка среднего (SEM) - это стандартное отклонение (SD) среднего. (Стандартная ошибка - это еще один способ сказать SD о распределении выборки. В этом случае распределение выборки - это средство для выборок фиксированного размера, скажем, N.) Существует математическая связь между SEM и популяцией SD: SEM = популяция SD / квадратный корень из N. Это математическое соотношение очень полезно, так как у нас почти никогда нет прямой оценки SEM, но у нас есть оценка SD населения (а именно SD нашей выборки). Что касается вашего второго вопроса, если бы вы собирали несколько выборок размера N и вычисляли среднее значение для каждой выборки, вы могли бы оценить SEM, просто вычислив SD средних. Таким образом, формула для SEM действительно отражает формулу для SD одного образца.

Предположим, что независимы и одинаково распределены. Это ситуация, на которую, я уверен, вы ссылаетесь. Пусть их общим средним будет μ, а их общей дисперсией будет σ 2 .$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

Теперь среднее значение выборки: . Линейность ожидания показывает, что среднее значение X b также равно μ . Предположение о независимости подразумевает, что дисперсия X b является суммой дисперсий ее членов. Каждый такой член X i / n имеет дисперсию σ 2 / n 2 (потому что дисперсия постоянной, умноженная на случайную величину, равна квадрату константы, умноженной на дисперсию случайной величины). У нас есть $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$такие переменные распределены одинаково для суммирования, поэтому каждый член имеет ту же дисперсию. В результате мы получаем для дисперсии среднего значения выборки.$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

Обычно мы не знаем и поэтому мы должны оценить его по данным. В зависимости от настройки, есть разные способы сделать это. Двумя наиболее распространенными оценками общего назначения σ 2 являются выборочная дисперсия s 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ и его кратное число,s 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(что является несмещенной оценкойσ2). Использование любого из них вместоσ2в предыдущем абзаце и получение квадратного корня дает стандартную ошибку в видеs/$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$ илиsu/$s/\sqrt{n}$ .$s_u/\sqrt{n}$

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ with $x_.$ being the mean of the group means.

In that we typically believe the null hypothesis is not true, @JoelW.'s point is right, but I work through this point, because I think the clarity it affords is helpful for understanding these issues.