Почему нас волнует, является ли процесс МА обратимым?

14

У меня возникают проблемы с пониманием, почему мы заботимся о том, является ли процесс МА обратимым или нет.

Пожалуйста, исправьте меня, если я ошибаюсь, но я могу понять, почему нас волнует, является ли процесс AR причинным, то есть, если мы можем, так сказать, «переписать», как сумму некоторого параметра и белого шума - т.е. процесс скользящего среднего. Если это так, мы можем легко увидеть, что процесс AR является причинным.

Однако мне трудно понять, почему мы заботимся о том, можем ли мы представлять процесс MA как процесс AR, показывая, что он обратим. Я не очень понимаю, почему мы заботимся.

Любое понимание было бы здорово.

— agra94
источник

7

Обратимость на самом деле не имеет большого значения, поскольку почти любую гауссовскую необратимую модель MA можно изменить на модель обратимого MA представляющую тот же процесс, путем изменения значений параметров. Это упоминается в большинстве учебников для модели MA (1), но это верно в целом. $(q)$ $(q)$

В качестве примера рассмотрим модель MA (2): где - белый шум с дисперсией . Это не обратимая модель, потому что имеет один корень, равный 0,5 внутри единичного круга. Однако рассмотрим альтернативную модель MA (2), полученную путем замены этого корня на его обратное значение 2, так что модель принимает вид где имеет дисперсию . Вы можете легко проверить, что модели (1) и (2) имеют одинаковые функции автоковариации и, следовательно, задаете одинаковое распределение для данных, если процесс является гауссовским.

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$

w_{t}

$w_t$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

θ (B)

$\theta(B)$

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$

w_{t}^{'}

$w_t'$

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$

Чтобы сделать модель идентифицируемой так , чтобы существовало однозначное сопоставление с распределением данных, поэтому пространство параметров по соглашению ограничено тем, что обратимых моделей. Это конкретное соглашение является предпочтительным, поскольку модель может быть помещена непосредственно в форму AR с коэффициентами удовлетворяющими простому разностному уравнению . $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

Если бы мы не налагали это ограничение на пространство параметров, функция правдоподобия MA в общем случае имела бы до локальных оптимумов (если полином MA имеет различных реальных корней), что мы хотим избежать. $(q)$ $2^q$ $q$

Вы всегда можете переместить корни изнутри наружу единичного круга с соответствующим изменением дисперсии белого шума, используя вышеуказанную технику, за исключением случаев, когда полином MA имеет один или несколько корней точно на единичном круге.

— Ярле Туфто
источник

Очень интересно!

— Ричард Харди

Да, я не знаю, почему это не указано более четко в учебниках. Вы можете видеть этот «трюк», используемый функцией maInvertвнутри функции R, arimaчтобы гарантировать, что оценки параметров соответствуют обратимой модели.

— Ярле Туфто

1

$X_t$

X_{t} = θ (B) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (B) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

Кроме того, судя по названию в ссылке в первой ссылке, эти авторы могут еще многое сказать по этому вопросу. К сожалению, я не могу найти копию этой книги / бумаги в Интернете. Если кто-нибудь может найти это, пожалуйста, дайте мне знать.

— Тейлор
источник