Если и являются независимыми нормальными переменными, каждая из которых имеет среднее значение ноль, то также является нормальной переменной

Я пытаюсь доказать утверждение:

Если и являются независимыми случайными величинами, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

затем также является нормальной случайной величиной. $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Для особого случая (скажем) у нас есть известный результат, который всякий раз, когда и являются независимыми переменными. На самом деле общеизвестно, что являются независимыми переменными . $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Доказательство последнего результата следует с помощью преобразования где и . Действительно, здесь и . Я пытался подражать этому доказательству для рассматриваемой проблемы, но это, кажется, становится грязным. $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Если я не сделал никакой ошибки, то для я получаю плотность соединения как $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

У меня есть множитель выше, так как преобразование не один к одному. $2$

Таким образом, плотность будет определяться как , что сложно оценить. $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Теперь мне интересно узнать, есть ли доказательство того, что я могу работать только с и не нужно рассматривать некоторые чтобы показать, что является нормальным. Поиск CDF не выглядит для меня так многообещающе. Я также хотел бы сделать то же самое для случая . $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

То есть, если и являются независимыми переменными я хочу показать, что без использования замены переменных. Если как-то я могу утверждать, что , то я закончил. Итак, два вопроса здесь, общий случай, а затем частный случай. $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

Похожие посты на Math.SE:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ когда независимо $X,Y\sim N(0,1)$ .

Учитывая, что iid , покажите, что - это $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ .

Редактировать.

Эта проблема на самом деле связана с Л. Шеппом, как я выяснил в упражнениях Феллера « Введение в теорию вероятностей и ее приложения» (том II), с возможной подсказкой:

Конечно, и у меня есть плотность под рукой. $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

Давайте посмотрим, что я мог сделать сейчас. Помимо этого, небольшая помощь с интегралом выше также приветствуется.

— StubbornAtom
источник

Несмотря на то, что подход MGF для соединения немного проще См. Последний ответ: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 и: math.stackexchange.com/questions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— Алекс Р.

@AlexR. Да, я видел совместный подход mgf, который работает довольно хорошо, если я хочу найти совместное распределение для случая равной дисперсии. Но у меня уже есть доказательство по изменению переменных в том случае, что, на мой взгляд, проще. То, что я пытаюсь сделать, - это работать с одиночку, поскольку это дистрибутив, который я ищу.

U

$U$

— StubbornAtom

Хитрость в том, что сумма и , которые являются масштабированными обратными распределениями хи-квадрат, также является масштабированным обратным распределением хи-квадрат (то есть свойство устойчивых распределений). Таким образом, волшебство происходит в третьем уравнении следующего:

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings По-видимому, это оригинальное доказательство, данное Шеппом.

— StubbornAtom

Я бы не стал придумывать это сам, если бы вы не упомянули комментарий Шеппа. Но у меня была идея, что вы не получили это доказательство. Или, по крайней мере, было неясно, так ли это было.

— Секст Эмпирик

Ответы:

Первоначальное решение проблемы Шеппом использует концепцию стабильного права собственности, которая кажется мне несколько продвинутой в данный момент. Поэтому я не мог понять подсказку, приведенную в упражнении, которое я привел в своем посте. Я предполагаю, что до доказательства, включающего только одну переменную и не использующего замены переменных, сложно придумать. Итак, я поделился тремя документами открытого доступа, которые нашли альтернативное решение проблемы: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Первый один убедил меня не идти по пути интеграции , я взял с этим выбором переменной , чтобы получить плотность . Это третий документ, который выглядит как то, что я могу следовать. Я даю краткий набросок доказательства здесь: $V$ $U$

Мы предполагаем без ограничения общности и устанавливаем . Теперь, заметив, что и независимы, мы имеем объединенную плотность , Обозначим это через . $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

Рассмотрим преобразование такое, что и . Таким образом, мы имеем плотность соединения . Обозначим это через . После стандартной процедуры мы интегрировать WRT , чтобы , чтобы получить предельную плотность из . $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

Мы находим, что является гамма-переменной с параметрами и , так что . Отметим, что плотность симметрична относительно . Это означает, что и, следовательно, . $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— StubbornAtom
источник

согласно этому

Преобразование двух нормальных случайных величин

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . и являются независимыми и являются независимыми.
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

также что поскольку $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

аналогично для других.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

так что мы можем показать:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ и $Y=\sigma r \sin(\theta)$

так

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

показать независимость

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ и легко сказать, что они независимы.

— Масуд
источник

Что делать, если ?

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

— Секст Эмпирик

я не думал об этом. но некоторые проблемы с вычислениями случаются в

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— Масуд