Может ли трехмерное совместное распределение быть реконструировано по 2D маргиналам?

Предположим, что мы знаем p (x, y), p (x, z) и p (y, z). Верно ли, что совместное распределение p (x, y, z) идентифицируемо? То есть есть только один возможный p (x, y, z), который имеет выше маргиналов?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
источник

Связанный: возможно ли иметь пару гауссовых случайных величин, для которых совместное распределение не является гауссовым? (Это относится к 2D-соединению против 1D-маргиналов, но ответ и интуиция в конечном итоге такие же, плюс картинки в ответе @ Cardinal прекрасны.)

— gung - Восстановить Монику

@gung Отношения несколько отдаленные. Тонкость этого вопроса заключается в том, что связка показывает нам, как разработать двумерные распределения с заданными маргиналами. Но если мы указываем три двумерных маргинала для трехвариантного распределения, должны быть довольно строгие дополнительные ограничения для этого трехвариантного распределения: одномерные маргиналы должны быть согласованными. Тогда возникает вопрос: достаточно ли этих ограничений, чтобы определить тривариатное распределение? Это делает его более чем двухмерным вопросом.

— whuber

@whuber, я понимаю, вы говорите, что 2D-маргиналы более ограничивающие, чем 1D-маргиналы, что вполне разумно. Моя точка зрения такова, что в обоих случаях ответ заключается в том, что маргиналы не могут в достаточной степени ограничить совместное распределение, и что ответ кардинала делает проблему очень легко увидеть. Если вы думаете, что это слишком отвлекает, я могу удалить эти комментарии.

— gung - Восстановить Монику

@ gung Я пытаюсь сказать что-то совсем другое, и это не так легко увидеть (если только вы не очень хорошо разбираетесь в 3D-визуализациях). Вы помните обложку с изображением Годеля, Эшера, Баха Хофштадтера ? (Это легко найти с помощью Google, возможно, я расширю свой ответ, чтобы включить его.) Существование этих двух разных тел с одинаковыми наборами проекций на оси координат довольно удивительно. Это отражает идею о том, что полный набор ортогональных 2D «видов» трехмерного объекта не обязательно определяет объект. В этом суть дела.

— whuber

@ Gung позвольте мне попробовать еще раз. Да, идея о том, что маргиналы не полностью определяют распределение, является общей для обоих случаев. Сложность в этом - то, что, как я считаю, делает его настолько отличным от другого, - в том, что маргинальные номера в текущей ситуации ни в коем случае не являются независимыми: каждый 2D-маргинальный элемент определяет два одномерных маргинальных номера, а также тесную связь между этими маргиналы. Таким образом, концептуально этот вопрос можно было бы переформулировать как «почему зависимости в 2D-маргиналах не являются« транзитивными »или« кумулятивными »в смысле определения полного трехмерного распределения?»

— whuber

Ответы:

Нет. Возможно, самый простой контрпример касается распределения трех независимых переменных , для которых одинаково вероятны все восемь возможных результатов от до , Это делает все четыре маргинальных распределения равномерными на . $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Рассмотрим случайные величины которые равномерно распределены на множестве . Они имеют те же маргиналы, что и . $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ $(X_1,X_2,X_3)$

Обложка « Годель, Эшер, Бах» Дугласа Хофштадтера намекает на возможности.

Три ортогональные проекции (тени) каждого из этих тел на координатные плоскости одинаковы, но тела, очевидно, различаются. Хотя тени - это не то же самое, что маргинальные распределения, они функционируют довольно сходным образом, чтобы ограничивать, но не полностью определять , трехмерный объект, который их отбрасывает.

— Whuber
источник

+1 конечно, но если я правильно помню, восходит к Бернштейну и, возможно, даже раньше. В прошлом я широко использовал его для обсуждения логического элемента Exclusive-OR, в котором события с входами 1 и с выходом 1 являются попарно независимыми событиями (для входов с равной вероятностью 0 или 1), но они не являются взаимно независимыми события

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— Dilip Sarwate

В том же духе, что и ответ Уубер,

Рассмотрим совместно непрерывные случайные величины с совместной функцией плотности где обозначает стандартную функцию нормальной плотности. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Ясно, что и являются зависимыми случайными величинами. Также ясно, что они не являются совместно нормальными случайными величинами. Однако все три пары являются попарно независимыми случайными переменными: фактически, независимыми стандартными нормальными случайными переменными (и, таким образом, попарно совместно нормальными случайными переменными). Вкратце, являются примером попарно независимых, но не взаимно независимых стандартных нормальных случайных величин. Смотрите этот мой ответ для более подробной информации. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Напротив, если являются взаимно независимыми стандартными нормальными случайными величинами, то они также являются попарно независимыми случайными величинами, но их общая плотность равна $X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$ который не совпадает с плотностью соединения в . Итак, НЕТ, мы не можем вывести тривариантное объединение pdf из двумерных pdf даже в случае, когда маргинальные одномерные распределения являются стандартными нормальными и случайные величины попарно независимы.

(1)

$(1)$

— Дилип Сарватэ
источник

Вы в основном спрашиваете, возможна ли реконструкция CAT, используя только изображения вдоль 3 основных осей.

Это не ... иначе это то, что они будут делать. :-) Смотрите преобразование Радона для получения дополнительной литературы.

— user541686
источник

Мне нравится аналогия. Тем не менее, два аспекта вызывают беспокойство. Одним из них является логика: то, что преобразование Радона (или какой-либо другой метод) использует больше данных, чем три маргинальных значения, не означает логически, что ему действительно нужны все эти данные. Другая проблема заключается в том, что компьютерная томография по своей сути является двумерной: они восстанавливают срез твердого тела по срезу. (Это правда, что преобразование Радона определяется в трех и более измерениях.) Таким образом, они на самом деле не доходят до сути вопроса: мы уже знаем, что одномерные предельные значения не достаточны для восстановления 2D-распределения.

— whuber

@whuber: Я думаю, вы не поняли, что я говорил ... а 2D против 3D - это красная сельдь. Я пытался сказать, что обратное преобразование Радона требует полного интеграла для его инверсии (т.е. если вы буквально просто посмотрите на формулу инверсии, вы увидите, что инверсия требует интеграла по всем углам, а не суммы по d углам). Сканирование CAT просто помогло оператору понять, что это та же проблема, что и у CT.

— user541686

Вот где логика ломается: это не та же проблема, что и у CT. Ваш аргумент звучит как аналог «каждого транспортного средства, которое я вижу на дороге, использует как минимум четыре колеса. Поэтому наземная транспортировка с менее чем четырьмя колесами невозможна, так как если бы это было возможно, то люди использовали бы меньше колес, чтобы сэкономить на стоимости шин». Если вы сомневаетесь в этом, просто посмотрите на чертежи автомобиля ". Кстати, преобразование, реализованное в КТ-сканере, не интегрируется по всем углам - мера набора используемых им углов равна нулю!

— whuber

@whuber: Забудьте о КТ на мгновение. Согласны ли вы с остальной логикой?

— user541686