Дисперсия резисторов параллельно

10

Предположим, у вас есть набор резисторов R, все из которых имеют среднее значение μ и дисперсию σ.

Рассмотрим часть схемы со следующим расположением: (r) || (r + r) || (г + г + г). Эквивалентное сопротивление каждой части составляет r, 2r и 3r. Тогда дисперсия каждого сечения будет $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Какова разница в сопротивлении всей цепи?

После отбора нескольких миллионов точек мы обнаружили, что дисперсия составляет приблизительно $.10286\sigma^2$ .

Как бы мы пришли к такому выводу аналитически?

Редактировать: Предполагается, что значения сопротивления обычно распределены с некоторым средним сопротивлением r и дисперсией $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
источник

1

Я не уверен, что это подходящая модель для начала. Вы знакомы с теорией теплового шума Найквиста-Джонсона ? Если вы целенаправленно делаете что-то другое, было бы интересно увидеть мотивацию. В противном случае, возможно, стоит рассмотреть более стандартную модель. :)

— кардинал

Да, когда я писал свою попытку ответа, я также понял, что модель, по-видимому, не отслеживается, как она была задана. Однако я подумал, что это скорее академическая проблема, нежели практическая (в конце концов, они делают симуляции).

— Нестор

Мои извинения за то, что у меня есть сигма как отклонение, я первоначально использовал VAR, и кто-то отредактировал это к сигме.

— lrAndroid

Спасибо за обновления. Я по-прежнему заинтересован в мотивации этого вопроса, если вы хотите немного добавить к этому свой вопрос. :)

— кардинал

9

Эквивалентное сопротивление всей схемы решает Предполагается, что для некоторых независимых случайных величин центром и с дисперсией . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Без дополнительных указаний невозможно вычислить дисперсию , поэтому, чтобы пойти дальше, мы рассмотрим режим, в котором Тогда следовательно, где Видно, что Кроме того, таким образом, в пределе $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , и Эти асимптотики и можно обобщить на любое количество параллельных сопротивлений, каждое из которых является результатом последовательных элементарных сопротивлений, причем элементарные сопротивления являются независимыми и каждое из них имеет среднее значение и дисперсию . Затем, когда , где

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Сделал
источник

8

Я не думаю, что точный ответ зависит только от и . Когда вы делали выборку, я полагаю, вы использовали какой-то конкретный дистрибутив - возможно, нормальный дистрибутив? В любом случае мы можем рассчитать среднее значение и дисперсию сопротивления цепи в линейном приближении, и тогда точный вид распределения не имеет значения. $\mu$ $\sigma^2$

Сопротивление цепи . В линейном приближении среднее и дисперсия обратной величины случайной величины со средним значением и дисперсией равны и соответственно. Таким образом, мы имеем сумму слагаемых со средними , и и дисперсиями , и соответственно, что в сумме составляет среднее значение и дисперсию $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ , Тогда взятие обратной дает среднее значение и дисперсию , в соответствии с вашим результатом. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— joriki
источник

Это, конечно, при условии, что резисторы являются независимыми случайными величинами.

@ Роберт: Да (скорее, сопротивления). Это уже предполагалось при расчете дисперсий , и в вопросе, и это имеет физический смысл (хотя, если мы возьмем все резисторы из одной партии продукции, их сопротивления будут несколько коррелированными ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— Йорики

Конечно, в реальном дизайне сопротивления далеки от независимых rvs. Фактически, в макете много работы, чтобы некоторые группы элементов отслеживали друг друга (что неудивительно).

1

Вы используете ? Я более привык видеть это как .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Вы, конечно, правы относительно - я, не задумываясь, принял обозначения, использованные в вопросе.

σ^{2}

$\sigma^2$

— Йорики

5

Это зависит от формы распределения сопротивления. Не зная распределения, я не могу даже сказать среднее сопротивление, хотя я думаю, что есть ограничения.

Итак, давайте выберем распределение, которое можно отследить: пусть будет стандартным отклонением сопротивления одного резистора. Пусть сопротивление будет , причем каждый знак встречается с вероятностью . Это дает нам случая для рассмотрения или если мы объединяем некоторые случаи. Конечно, мы предположим, что сопротивления независимы. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Если мы выберем и то среднее значение будет (немного меньше, чем ), а дисперсия - . Если мы выберем и , тогда дисперсия будет . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Вот разложение в степенной ряд для отношений между дисперсиями, когда среднее значение равно а дисперсия равна : . Когда мало, доминирующим членом является . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Хотя вопрос, который вы задаете, технически зависит от распределения, вас, вероятно, интересуют ситуации, когда стандартное отклонение мало по сравнению со средним, и я думаю, что есть четко определенный предел, который не зависит от распределения. Линеаризуйте зависимость сопротивления цепи как функцию сопротивлений каждого элемента:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

В этой конкретной схеме масштабные частные производные имеют следующие значения: и $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Дуглас Заре
источник

1

Это напоминает мне о многомерной дельта-теореме, то есть имеет среднее значение и дисперсию соответственно, затем должны иметь асимптотическую дисперсию как , где и . Окончательный ответ такой же, как у @Douglas Zare и OP, то есть 0.1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix

1

Я предупреждаю, что, как я рассуждал, это длинный ответ , но, возможно, кто-то может придумать что-то лучшее, начиная с моей попытки (что может быть не оптимальным). Кроме того, я неправильно прочитал исходный вопрос ОП и подумал, что это говорит о том, что сопротивления обычно распределяются. Я все равно оставлю ответ, но это основополагающее предположение.

1. Физическое обоснование проблемы

Я рассуждаю следующим образом: напомним, что для резисторов, которые находятся в паралеле, эквивалентное сопротивление определяется как: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

где - сопротивления каждой части цепи. В вашем случае это дает нам $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ где является частью схемы с 1 сопротивлением и поэтому имеет нормальное распределение со средним и дисперсией , и по тем же соображениям является эквивалентное сопротивление части схемы с двумя сопротивлениями и, наконец, - это эквивалентное сопротивление части схемы с тремя сопротивлениями. Вы должны найти распределение и оттуда получить его дисперсию.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Получение распределения $R_{eq}$

Один из способов найти распределение - это отметить: Здесь также отметим, что мы можем записать (который был получен с помощью теоремы Байеса), который, предполагая Независимость между , и (которая является физически правдоподобной) может быть записана как Заменив это в и отметив, что другим следствием независимости между тремя сопротивлениями является то, что

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ получаем: Наша последняя задача - найти , т. Распределение rv , Эта проблема аналогична той, которую мы нашли здесь, за исключением того, что теперь вы заменяете в уравнении. по константе, скажем, . Следуя тем же аргументам, что и выше, вы можете обнаружить, что Видимо, остальное заменяя известные распределения, за исключением небольшой проблемы: распределение можно получить из , отметив, что

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ является гауссовским, поэтому вам необходимо найти распределение случайной величины где и - постоянные, и является гауссовым со средним значением и дисперсией . Если мои расчеты верны, это распределение: где поэтому будет

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ где и . Дело в том, что я не знаю, является ли это аналитически управляемым для решения интеграла в уравнении , что затем приведет нас к решению задачи, заменив ее результат в уравнении . По крайней мере, для меня в это время ночи это не так.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Нестора
источник

Вы предполагаете нормальное распределение, хотя сопротивление не может быть отрицательным? Я предполагаю, что это приведет к расхождению дисперсии схемы.

— Дуглас Заре

1

Я знаю, это меня тоже беспокоило, но на практике это действительно зависит от значений и . Если и , то мы можем «сохранить» модель. В нормальных условиях разброс сопротивления не очень высок, поэтому последнее предположение явно выполняется. Это было то, что поначалу меня тоже беспокоило, когда люди моделировали рост как нормальную случайную величину, но по той же причине, что я привел здесь, некоторые люди здесь, на Stack-exchange, заставили меня чувствовать себя хорошо :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Нестор

Хм, я думаю, что высота моделирования как нормальная настолько плоха, что я использую ее как пример распределения, которое явно не является нормальным. Я предполагаю, что это может быть не страшно, если у вас есть популяция здоровых взрослых мужчин с таким же генетическим фоном. Тем не менее, я хотел бы услышать от биолога, что это нормально. Я слишком часто слышал рассуждения о том, что размер каждой кости независимый, это полная чепуха.

— Дуглас Заре

Я только что понял, что сопротивления обычно не распределяются (могу поклясться, что прочитал их там, где на оригинальном ответе ОП, но я думаю, что это было только мое воображение).

— Нестор