Как я мог обнаружить нормальное распределение?

16

Что было первым производным нормального распределения, можете ли вы воспроизвести этот вывод и объяснить его в историческом контексте ?

Я имею в виду, если бы человечество забыло о нормальном распределении, каков наиболее вероятный способ, которым я бы заново его обнаружил, и какой был бы наиболее вероятный вывод? Я полагаю, что первые выводы должны были быть побочным продуктом от попыток найти быстрые способы вычисления базовых дискретных распределений вероятностей, таких как биномы. Это верно?

— statslearner
источник

2

Нетрудно придумать распределения вероятностей: возьмите любую положительную интегрируемую функцию, нормализуйте ее, и, таким образом, у вас будет плотность вероятности. Теперь, если вы хотите сделать вывод на основе вероятности с помощью семейства распределений, вам нужен логарифм плотности, чтобы быть простой выпуклой функцией. Точнее, если вы хотите, чтобы максимальная вероятность минимизировала заданную функцию выпуклых потерь, то экспонента этой потери является подходящим выбором плотности. Квадратная ошибка приводит к нормальному распределению и может быть самым простым примером выпуклой потери.

— Оливье

1

@ Оливье, просто потому, что вы можете легко изобрести распределение вероятностей, это не значит, что оно полезно или что оно появляется везде. Открытие гауссовского распределения связано с решением реальных проблем, я думаю, а не только с нормализацией функции.

— statslearner

2

Уже есть ряд вопросов и ответов, которые относятся к этой истории, которые могут ответить или частично ответить на ваш вопрос.

— Glen_b

2

Раздел в Википедии об истории en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History стоит прочитать. Вывод, который я делаю, заключается в том, что приоритет здесь, как это часто бывает, является международным спором. Вы можете выбрать из De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey

2

Посмотрите на этот вопрос здесь и ответ @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/… Я думаю, что один из способов, как вы могли бы заново открыть нормальное распределение, - это провести измерения и понять, что существует неопределенность / ошибка, связанная с с вашим измерением, то есть, если вы повторяете свои измерения снова и снова, результат не будет на 100% одинаковым. Затем вы хотите количественно определить неопределенность / ошибку. И тогда вам нужно немного исчисления :) Кроме того, ссылка на Шталь действительно стоит прочитать!

— Стефан

7

Я полагаю, что первые выводы должны были быть побочным продуктом от попыток найти быстрые способы вычисления базовых дискретных распределений вероятностей, таких как биномы. Это верно?

Да.

Нормальная кривая была разработана математически в 1733 году ДеМойвром как приближение к биномиальному распределению . Его статья не была открыта до 1924 года Карлом Пирсоном. Лаплас использовал нормальную кривую в 1783 году для описания распределения ошибок. Впоследствии Гаусс использовал нормальную кривую для анализа астрономических данных в 1809 году.

Источник: НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Другие источники с историческим контекстом:

В настоящее время тот факт, что нормальное распределение является приближением для биномов при больших , рассматривается как частный случай центральной предельной теоремы. Это можно найти в большинстве учебников и считается элементарным. Вы можете найти доказательство в Википедии . Экспонента просто проявляется как $n$ после некоторого разложения по Тейлору характеристической функции, которая дает $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ . Иногда вы все еще найдете специальные доказательства для биномов в учебниках, и это известно кактеорема Демуа-Лапласа. $-\frac{t^2}{2}$

— Бенуа Санчес
источник

Бенуа, происхождение DeMoivre не кажется элементарным, не могли бы вы включить его в свой ответ? Этот вывод из DeMoivre - это то, что я ищу (в качестве примечания, знаете ли вы, что все результаты исчисления и аппроксимации - например, аппроксимация по стемлингу - уже были доступны для DeMoivre, или это современная версия его доказательства?)

— statslearner

1

Это современная версия. Я не знаю исторического происхождения Демура. Единственная историческая информация, которую я получил, - это статья, на которую указывают и Стефан, и я.

— Бенуа Санчес

6

Шталь («Эволюция нормального распределения», журнал « Математика» , 2006 г.) утверждает, что первые исторические следы нормалей пришли из азартных игр, приближений к биномиальным распределениям (для демографии) и анализа ошибок в астрономии.

— С. Коласса - Восстановить Монику
источник

4

Да, но в большинстве (всех?) Из этих случаев нормальное распределение не было явным. Это немного похоже на заключение, что Бен Франклин знал (или изобрел) уравнения Максвелла, потому что он экспериментировал с электричеством.

— whuber

Не могли бы вы привести выводы, сделанные этими авторами?

— statslearner

Например, какую математику им нужно было вывести?

— statslearner

3

На историческую часть вопроса уже, возможно, несколько раз отвечали на этом форуме, например, смотрите принятый ответ на аналогичный вопрос. Нет, это не было обнаружено как приближение к дискретным распределениям. Я сомневаюсь, что в то время было даже понятие распределения вероятностей. Его обнаружили парни, которых в наши дни называют физиками или математиками, я полагаю, в то время философы природы.

Как другая цивилизация обнаружит нормальное распределение - интересный вопрос. Любой, кто изучает ошибки и нарушения любого рода, нашел бы это. Так получилось, что наша цивилизация нашла это во время изучения небесных тел. Я сомневаюсь, что, вероятно, другие люди будут разрабатывать статистику до физики или математики.

— Аксакал
источник

2

Я также задавал себе этот вопрос, и это видео YouTube является лучшим ответом, который я нашел

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Я не думаю, что это оригинальное происхождение, но в описании видео говорится: «Этот аргумент основан на работах астронома Джона Гершеля в 1850 году и физика Джеймса Клерка Максвелла в 1860 году».

— Себастьян
источник

1

Что особенного в нормальном распределении, так это Центральная предельная теория. Для получения подробной информации и вывода / доказательства см .: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— elliotp
источник

11

Это не отвечает на вопрос.

— whuber

1

Тема вопроса: Как я мог найти нормальное распределение? и ответ, безусловно, отвечает на это.

— Г. Гротендик

1

$\propto \exp(-x^2)$

В квантовой механике, теории информации и термодинамике энтропия количественно определяет состояние системы. В этих полях квантовое состояние фактически является полностью случайным или стохастическим. Сравните это с классической механикой. В классической механике состояния фиксированы, но наше наблюдение несовершенно из-за вклада сотен или миллионов ненаблюдаемых влияющих факторов: этот вид результата приводит к CLT.

В квантовой механике мы используем байесовскую вероятность для количественной оценки нашего представления о состоянии системы. Вдоль этих линий были представлены и подстроены доказательства того, что гауссовская или нормальная случайная величина обладает максимальной энтропией среди всех случайных величин с конечным средним или стандартным отклонением.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— Adamo
источник