У меня возникают проблемы при создании набора стационарных цветных временных рядов, учитывая их ковариационную матрицу (их спектральные плотности мощности (PSD) и спектральные плотности перекрестных мощностей (CSD)).
Я знаю, что, учитывая два временных ряда и , я могу оценить их спектральные плотности мощности (PSD) и кросс-спектральные плотности (CSD), используя многие широко доступные процедуры, такие как и функции в Matlab и т. д. PSD и CSD составляют ковариационную матрицу:
psd()csd()
Что произойдет, если я захочу сделать наоборот? Учитывая ковариационную матрицу, как мне сгенерировать реализацию и ?
Пожалуйста, включите любую фоновую теорию или укажите какие-либо существующие инструменты, которые делают это (все в Python было бы здорово).
Моя попытка
Ниже приведено описание того, что я пробовал, и проблем, которые я заметил. Это немного долго читать, и извините, если он содержит термины, которые были использованы неправильно. Если можно указать на то, что является ошибочным, это было бы очень полезно. Но мой вопрос выделен жирным шрифтом выше.
- PSD и CSD могут быть записаны как ожидаемое значение (или среднее по ансамблю) произведений преобразований Фурье временного ряда. Таким образом, ковариационная матрица может быть записана как:
где
- Ковариационная матрица - это эрмитова матрица, имеющая действительные собственные значения, которые либо равны нулю, либо положительны. Таким образом, его можно разложить на
где \ lambda ^ {\ frac {1} {2}} ( f) - диагональная матрица, ненулевыми элементами которой являются квадратные корни из собственных значений \ mathbf {C} (f) ; \ mathbf {X} (f) - это матрица, столбцы которой являются ортонормированными собственными векторами \ mathbf {C} (f) ;- это единичная матрица.
- Тождественная матрица записывается как
где
и - некоррелированные и сложные частотные ряды с нулевым средним и единичной дисперсией.
- Используя 3. в 2., а затем сравните с 1. Преобразования Фурье временного ряда:
- Временные ряды могут затем быть получены с использованием процедур, таких как обратное быстрое преобразование Фурье.
Я написал процедуру на Python для этого:
def get_noise_freq_domain_CovarMatrix( comatrix , df , inittime , parityN , seed='none' , N_previous_draws=0 ) :
"""
returns the noise time-series given their covariance matrix
INPUT:
comatrix --- covariance matrix, Nts x Nts x Nf numpy array
( Nts = number of time-series. Nf number of positive and non-Nyquist frequencies )
df --- frequency resolution
inittime --- initial time of the noise time-series
parityN --- is the length of the time-series 'Odd' or 'Even'
seed --- seed for the random number generator
N_previous_draws --- number of random number draws to discard first
OUPUT:
t --- time [s]
n --- noise time-series, Nts x N numpy array
"""
if len( comatrix.shape ) != 3 :
raise InputError , 'Input Covariance matrices must be a 3-D numpy array!'
if comatrix.shape[0] != comatrix.shape[1] :
raise InputError , 'Covariance matrix must be square at each frequency!'
Nts , Nf = comatrix.shape[0] , comatrix.shape[2]
if parityN == 'Odd' :
N = 2 * Nf + 1
elif parityN == 'Even' :
N = 2 * ( Nf + 1 )
else :
raise InputError , "parityN must be either 'Odd' or 'Even'!"
stime = 1 / ( N*df )
t = inittime + stime * np.arange( N )
if seed == 'none' :
print 'Not setting the seed for np.random.standard_normal()'
pass
elif seed == 'random' :
np.random.seed( None )
else :
np.random.seed( int( seed ) )
print N_previous_draws
np.random.standard_normal( N_previous_draws ) ;
zs = np.array( [ ( np.random.standard_normal((Nf,)) + 1j * np.random.standard_normal((Nf,)) ) / np.sqrt(2)
for i in range( Nts ) ] )
ntilde_p = np.zeros( ( Nts , Nf ) , dtype=complex )
for k in range( Nf ) :
C = comatrix[ :,:,k ]
if not np.allclose( C , np.conj( np.transpose( C ) ) ) :
print "Covariance matrix NOT Hermitian! Unphysical."
w , V = sp_linalg.eigh( C )
for m in range( w.shape[0] ) :
w[m] = np.real( w[m] )
if np.abs(w[m]) / np.max(w) < 1e-10 :
w[m] = 0
if w[m] < 0 :
print 'Negative eigenvalue! Simulating unpysical signal...'
ntilde_p[ :,k ] = np.conj( np.sqrt( N / (2*stime) ) * np.dot( V , np.dot( np.sqrt( np.diag( w ) ) , zs[ :,k ] ) ) )
zerofill = np.zeros( ( Nts , 1 ) )
if N % 2 == 0 :
ntilde = np.concatenate( ( zerofill , ntilde_p , zerofill , np.conj(np.fliplr(ntilde_p)) ) , axis = 1 )
else :
ntilde = np.concatenate( ( zerofill , ntilde_p , np.conj(np.fliplr(ntilde_p)) ) , axis = 1 )
n = np.real( sp.ifft( ntilde , axis = 1 ) )
return t , n
Я применил эту процедуру к PSD и CSD, аналитические выражения которых были получены при моделировании детектора, с которым я работаю. Важно то, что на всех частотах они составляют ковариационную матрицу (по крайней мере, они пропускают все эти ifутверждения в процедуре). Ковариационная матрица 3х3. 3 временных ряда были сгенерированы около 9000 раз, и оценочные PSD и CSD, усредненные по всем этим реализациям, представлены ниже с аналитическими. В то время как общие формы согласуются, на определенных частотах в CSD есть заметные шумные особенности (Рис.2). После изучения пиков в PSD (рис. 3) я заметил, что PSD фактически недооцененыи что шумовые характеристики в CSD возникают примерно на тех же частотах, что и пики в PSD. Я не думаю, что это совпадение, и что каким-то образом энергия просачивается из PSD в CSD. Я ожидал бы, что кривые будут лежать друг на друге с таким большим количеством реализаций данных.
