Если я генерирую случайную симметричную матрицу, какова вероятность того, что она положительно определена?

У меня возник странный вопрос, когда я экспериментировал с некоторыми выпуклыми оптимизациями. Вопрос в том:

Предположим, что я случайно (скажем, стандартное нормальное распределение) генерирую симметричную матрицу (например, я генерирую верхнюю треугольную матрицу и заполняю нижнюю половину, чтобы убедиться, что она симметричная), какова вероятность того, что она является положительно определенной матрица? Есть ли способ рассчитать вероятность? $N \times N$

— Haitao Du
источник

Попробуйте симуляцию ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen спасибо, но мне интересно, какова вероятность того, что все собственные значения больше нуля или мы можем даже сделать это аналитически.

— Haitao Du

Ответ зависит от того, как вы генерируете матрицу. Например, один способ генерирует действительных собственных значений согласно некоторому распределению и затем сопрягает эту диагональную матрицу случайной ортогональной матрицей. Результат будет положительно определенным, если и только если все эти собственные значения положительны. Если вы должны были генерировать собственные значения независимо в соответствии с симметричным распределением относительно нуля , то этот шанс, очевидно, составляет не более . Затем, чтобы сгенерировать матрицу PD, хорошо выбирайте собственные значения! (Для быстрой работы я создаю такие матрицы, как ковариации многомерных нормальных данных.)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

Не ответ на заданный вопрос, но учтите, что если сначала смоделировать матрицу с каждой записью с нормальным и одинаковыми размерами , то симметрично и положительно определено с вероятностью 1.

L

$L$

N

$N$

N = L L^{T}

$N = LL^T$

— Клифф А. Б.

Если ваши матрицы взяты из стандартных нормальных записей iid, вероятность быть положительно определенной приблизительно , поэтому, например, если , вероятность равна 1/1000, и идет довольно быстро после этого. Вы можете найти расширенное обсуждение этого вопроса здесь . $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ $N=5$

Вы можете несколько интуитивно понять этот ответ, приняв, что распределение собственных значений вашей матрицы будет приблизительно полукругом Вигнера , которое симметрично относительно нуля. Если бы все собственные значения были независимы, у вас была бы вероятность положительной определенности этой логикой. В действительности вы получаете поведение, как из-за корреляции между собственными значениями, так и законами, регулирующими большие отклонения собственных значений, в частности, наименьшее и наибольшее. В частности, случайные собственные значения очень похожи на заряженные частицы и не любят быть рядом друг с другом, поэтому они отталкиваются друг от друга (как ни странно, с тем же потенциальным полем, что и у заряженных частиц, , где $(1/2)^N$ $N^2$ $\propto 1/r$ $r$ это расстояние между соседними собственными значениями). Поэтому просить их всех быть позитивными было бы очень высокой просьбой.

Кроме того, из-за законов универсальности в теории случайных матриц я сильно подозреваю, что вышеупомянутая вероятность , вероятно, будет одинаковой для практически любой «разумной» случайной матрицы, с записями iid, которые имеют конечное среднее значение и стандартное отклонение. $p_N$

— Алекс Р.
источник

Приятно знать, что это очень низко. Поэтому я не буду использовать выборку отклонения для создания матрицы SPD в будущем.

— Haitao Du

@ hxd1011: если вы пытаетесь отобрать SPD-матрицы, я предлагаю метод, который я описал в комментариях выше. Кроме того, может быть полезно прочитать о разложениях Холецкого

— Клифф А.Б.

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$