В этой интерпретации треугольник является прямым треугольником с длинами сторон и Y, распределенными бинормально с ожиданиями μ x и μ y , стандартными отклонениями σ x и σ y и корреляцией ρ . Мы ищем распределение арктана ( Y / X ) . С этой целью стандартизировать X и Y так, чтобыXYμxμyσxσyρarctan(Y/X)XY
и Y = σ y η + μ y
X=σxξ+μx
Y=σyη+μy
с и η стандартная норма меняется с корреляцией ρ . Пусть θ - угол и для удобства пишем q = tan ( θ ) . потомξηρθq=tan(θ)
P[arctan(Y/X)≤θ]=P[Y≤qX]
=P[σyη+μy≤q(σxξ+μx)
=P[σyη−qσxξ≤qμx−μy]
Левая рука, будучи линейной комбинацией нормалей, является нормальным, со средним и дисперсией сг 2 у + д 2 сг 2 х - 2 д р сг х сг у . μyσy−qμxσxσ2y+q2σ2x−2qρσxσy
Дифференцирование нормального cdf этих параметров по дает pdf угла. Выражение довольно ужасное, но ключевой его частью является экспоненциальныйθ
exp(−(μy(σy+1)−μx(σx+1)tan(θ))22(−2ρσxσytan(θ)+σ2x+σ2y+tan2(θ))),
сразу показывая, что угол обычно не распределен. Однако, как показывает ваше моделирование и интуиция, оно должно быть примерно нормальным, при условии, что вариации длины сторон невелики по сравнению с самими длинами. В этом случае приближение седловой точки должно давать хорошие результаты для конкретных значений , μ y , σ x , σ y и ρ , даже если общее решение замкнутой формы недоступно. Приблизительное стандартное отклонение будет выпадать сразу после нахождения второй производной (относительно θμxμyσxσyρθ) логарифма PDF (как показано в уравнениях (2.6) и (3.1) ссылки). Я рекомендую систему компьютерной алгебры (например, MatLab или Mathematica) для этого!