Возможно ли, что две случайные величины из одного и того же семейства распределений имеют одинаковое ожидание и дисперсию, но разные более высокие моменты?

12

Я думал о значении масштаба семьи. Насколько я понимаю, для каждого члена семейства масштабов местоположения с параметрами location и scale распределение не зависит от каких-либо параметров и одинаково для каждого принадлежащего этому семейству. $X$ $a$ $b$ $Z =(X-a)/b$ $X$

Итак, мой вопрос: не могли бы вы привести пример, когда два случайных числа из одного семейства распределения стандартизированы, но это не приводит к случайной переменной с одинаковым распределением?

Скажем, и к одному и тому же семейству распределения (где под семейством я имею в виду, например, «Нормальное» или «Гамма» и т. Д.) Определение: $X$ $Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

мы знаем, что и и имеют одинаковое ожидание и дисперсию, . $Z_1$ $Z_2$ $\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

Но могут ли они иметь разные более высокие моменты?

Моя попытка ответить на этот вопрос заключается в том, что если распределение и зависит от более чем 2 параметров, чем могло бы быть. И я думаю о обобщенном который имеет 3 параметра. $X$ $Y$ $t-student$

Но если число параметров и и принадлежат одному и тому же семейству распределений с одинаковым ожиданием и дисперсией, то означает ли это, что и имеют одинаковое распределение (более высокие моменты)? $\le2$ $X$ $Y$ $Z_1$ $Z_2$

— gioxc88
источник

4

Да, они могут. Но вам потребуется как минимум 3 параметра в обобщенном распределении.

— Карл

5

@Carl Достаточно одного параметра.

— whuber

5

@Carl Непонятно, что вы подразумеваете под «тем же дистрибутивом». Буквально это относится к уникальному распределению, с одним законом и, следовательно, с уникальным ожиданием, уникальной дисперсией и уникальными моментами (в той степени, в которой они определены). Если вы имеете в виду «одну и ту же распределительную семью », то ваше замечание не имеет смысла, потому что семья - это то, чем вы определяете ее.

— whuber

3

@ HardCore Так как кажется, что вы чувствуете, что на ваш вопрос ответили, пожалуйста, посмотрите, что я должен делать, когда кто-то отвечает на мой вопрос?

— Glen_b

2

@ Карл, я тоже высказал твой ответ. Использование OP, кажется, поддерживает понятие как имеющее одинаковое стандартное распределение для всех вариантов в семействе. Давайте посмотрим, какой ответ принимает OP (если OP когда-либо читает комментарий Glen_b и действует на него).

Z = (X - a) / b

$Z=(X-a)/b$

X

$X$

— Дилип

7

Очевидно, существует некоторая путаница относительно того, что такое семейство распределений и как считать свободные параметры в сравнении со свободными плюс фиксированные (назначенные) параметры. Эти вопросы являются сторонними, не связанными с намерением ФП и этого ответа. Я не использую здесь слово « семья», потому что это сбивает с толку. Например, семейство в соответствии с одним источником является результатом изменения параметра формы. @whuber утверждает, что «параметризация» семейства - это непрерывное отображение из подмножества ℝ с его обычной топологией в пространство распределений, образ которого является этим семейством. $^n$ Я буду использовать форму слова, которая охватывает как предполагаемое использование словаидентификация и подсчет семейства и параметров . Например, формулаимеет вид квадратичной формулы, то естьа еслиформула все еще имеет квадратичную форму. Однако, когдаформула является линейной, и форма больше не является достаточно полной, чтобы содержать член квадратичной формы. Тем, кто хочет использовать слово «семья» в надлежащем статистическом контексте, предлагается внести свой вклад в этот отдельный вопрос . $x^2-2x+4$ $a_2x^2+a_1x+a_0$ $a_1=0$ $a_2=0$

Давайте ответим на вопрос «Могут ли они иметь разные более высокие моменты?». Таких примеров много. Попутно отметим, что вопрос, похоже, касается симметричных PDF-файлов, которые, как правило, имеют местоположение и масштаб в простом двухпараметрическом случае. Логика: предположим, что есть две функции плотности с разными формами, имеющие два одинаковых (местоположение, масштаб) параметра. Тогда есть либо параметр формы, который регулирует форму, либо функции плотности не имеют общего параметра формы и, таким образом, являются функциями плотности не общей формы.

Вот пример того, как фигура фигурирует в нем. Обобщенная функция плотности ошибок и здесь , ответ , который , как представляется, свободно выбираемый эксцесс.

Скбкекас - собственная работа, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

PDF (AKA, функция плотности "вероятность", обратите внимание, что слово "вероятность" является лишним) является

\frac{β}{2 α Γ (\frac{1}{β})} e^{- (\frac{| x - μ |}{α})^{β}}

$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$

Среднее значение и местоположение - , масштаб - , а - форма. Обратите внимание, что симметричные PDF-файлы проще представить, поскольку эти PDF-файлы часто имеют местоположение и масштаб в виде простейших двухпараметрических случаев, тогда как асимметричные PDF-файлы, такие как гамма-PDF , обычно имеют форму и масштаб в качестве простейших параметров регистра. Продолжая функцию плотности ошибок, дисперсия , асимметрия равна , а эксцесс - $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$ $0$ $\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$ , Таким образом, если мы устанавливаем дисперсию равной 1, тогда мы присваиваем значение из при изменении , так что эксцесс выбирается в диапазоне от до . $\alpha$ $\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$ $\beta>0$ $-0.601114$ $\infty$

То есть, если мы хотим варьировать моменты более высокого порядка, и если мы хотим поддерживать среднее значение ноль и дисперсию 1, нам нужно изменить форму. Это подразумевает три параметра, которые, как правило, представляют собой 1) среднее значение или иным образом соответствующую меру местоположения, 2) шкалу для корректировки отклонения или другого показателя изменчивости и 3) форму. Для этого требуется как минимум три параметра.

Обратите внимание, что если мы сделаем замены , в PDF-файле выше, мы получим $\beta=2$ $\alpha=\sqrt{2}\sigma$

\frac{e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ},

$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$

которая является функцией плотности нормального распределения. Таким образом, обобщенная функция плотности ошибки является обобщением функции плотности нормального распределения. Есть много способов обобщить функцию плотности нормального распределения. Другим примером, но с функцией плотности нормального распределения только в качестве предельного значения, а не со значениями замещения среднего диапазона, такими как обобщенная функция плотности ошибок, является функция плотности Стьюдента . Используя функцию плотности Стьюдента , мы получили бы более ограниченный выбор эксцесса, и является параметром формы, потому что второй момент не существует для . Кроме того, DF $-t$ $-t$ $\textit{df}\geq2$ $\textit{df}<2$ на самом деле не ограничивается положительными целочисленными значениями, это в общем случае real . Параметр ученика становится нормальным только в пределе как , поэтому я не выбрал его в качестве примера. Это ни хороший пример, ни контр-пример, и в этом я не согласен с @ Xi'an и @whuber. $\geq1$ $-t$ $\textit{df}\rightarrow\infty$

Позвольте мне объяснить это дальше. Можно выбрать две из множества произвольных функций плотности двух параметров, чтобы, например, иметь среднее значение, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Однако они не все будут одинаковой формы. Вопрос, однако, касается функций плотности той же формы, а не различных форм. Утверждалось, что функции плотности имеют одинаковую форму, является произвольным назначением, поскольку это вопрос определения, и в этом мое мнение отличается. Я не согласен, что это произвольно, потому что можно либо сделать замену для преобразования одной функции плотности в другую, либо нельзя. В первом случае функции плотности похожи, и если путем подстановки мы можем показать, что функции плотности не эквивалентны, то эти функции плотности имеют различную форму.

Таким образом, используя пример Стьюдента PDF, выбор либо считают , что это является обобщением нормального PDF, в этом случае нормальный PDF имеет допустимую форму для Стьюдента сек PDF», или нет, в этом случае Стьюдента «s PDF имеет другую форму от нормального PDF и , следовательно , не имеет никакого отношения к вопросу , поставленному . $-t$ $-t$ $-t$

Мы можем утверждать это многими способами. Мое мнение таково , что нормальный PDF является подгруппой выбранной формой Стьюдента «s PDF, но это нормальный PDF не суб-выбор гамма PDF , даже при том , что предельное значение гамма PDF можно показать , быть нормальным PDF, и моя причина этого в том, что в нормальном случае / Student ' поддержка та же, но в нормальном / гамма-случае поддержка бесконечна по сравнению с полубесконечной, что является необходимой несовместимостью , $-t$ $-t$

— деревенщина
источник

6

(-1) Как было указано в других комментариях, вопрос заключается в том, «что означает семейство дистрибутивов?». Я могу легко определить новое «семейство» распределений, которые просто перераспределяют t-распределения, чтобы иметь среднее значение = 0, sd = 1, с одним параметром: df. Тогда 1-й и 2-й моменты равны для всех df, но для разных значений df они имеют разные более высокие моменты.

— Клифф А.Б.

5

Hard Core, этот комментарий трудно понять, учитывая, что сам заголовок содержит слово «семья»! Более того, если вы отрицаете, что семья значима, тогда этот вопрос не имеет смысла. Пожалуйста, уточните, отредактировав свой вопрос, чтобы отразить ваши намерения.

— whuber

5

-1 потому что вы начинаете с того, что говорите «НЕТ». а затем приступим к приведению примера, который эффективно отвечает «да» (другой пример приведен в ответе kjetilbhalvorsen, который вы благосклонно упоминаете). Это не имеет смысла для меня. Я думаю, что математика здесь понятна всем нам, поэтому мое отрицательное мнение касается только непоследовательности в изложении.

— говорит амеба, восстанови Монику

3

Карл, между вопросом и комментариями Hard Core существует явное несоответствие. Вопрос очевиден: «привести пример, когда две случайные [переменные] из одного семейства распределений стандартизированы, но это не приводит к ... Случайным переменным [с] с одинаковым распределением». Очевидно, что подразумевается некоторое значение слова «семья». Обычный смысл понятен, несмотря на наличие различных технических вариантов, и (легко демонстрируемый) правильный ответ - «да, таких примеров много».

— whuber

4

Спасибо. Ясно, что у вас есть хорошее представление о том, о чем вы пишете, но, к сожалению, ваше сообщение распространяет некоторую путаницу относительно того, что могут означать значения «распределение», «форма», «форма» и «параметр». В качестве одного из примеров тонкостей рассмотрим семейство распределений, созданных любым законом распределения который имеет ненулевой третий центральный момент. Семейство индексируется двумя действительными числами и состоит из всех законов . Это семейство масштабов местоположения, но формы этих законов различаются в зависимости от знака .

F

$F$

(μ, σ \neq 0)

$(\mu,\sigma\ne 0)$

x \to F (σ x + μ)

$x\to F(\sigma x+\mu)$

σ

$\sigma$

— whuber

17

Если вам нужен пример, который является «официально названным параметризованным семейством дистрибутивов, вы можете обратиться к обобщенному гамма-дистрибутиву, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Это семейство дистрибутивов имеет три параметра, поэтому вы можете зафиксировать среднее и дисперсия и все еще есть возможность варьировать более высокие моменты. На вики-странице алгебра не выглядит привлекательно, я бы предпочел сделать это численно. Для статистических приложений, поиск на этом сайте gamlss, который является расширением gam (обобщенная добавка модели, которые сами по себе являются обобщением glm, которые имеют параметры для «местоположения, масштаба и формы».

Другим примером являются -распределения, расширенные до семейства масштабов местоположения. Тогда третьим параметром будет степень свободы, которая будет определять форму для фиксированного местоположения и масштаба. $t$

— Къетил б Халворсен
источник

1

Хотя обобщенное распределение ошибок могло бы быть лучшим выбором.

— Карл

2

Большое спасибо за ответ!! Я выбрал Карла, потому что он был более подробным, но это тоже было хорошо .. большое спасибо !!!

— gioxc88

14

Существует бесконечное число распределений со средним нулем и дисперсией один, поэтому возьмите распределенный из одного из этих распределений, скажем, , и из другого из этих распределений, скажем с 54 степенями свободы масштабируется с помощью так что его дисперсия равна единице, тогда наслаждайтесь свойствами, которые вы упоминаете. «Количество» параметров не имеет значения для свойства. $\epsilon_1$ $\mathcal{N}(0,1)$ $\epsilon_2$ $t$ $\sqrt\frac{1}{3}$

X = μ + σ ϵ_{1} and Y = μ + σ ϵ_{2}

$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$

Очевидно, что если вы установите дополнительные правила для определения этого семейства, например, заявив, что существует фиксированная плотность такая, что плотность равна вас может получиться единственный возможный дистрибутив. $f$ $X$

\frac{1}{σ^{d}} f ({x - μ} / σ)

$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$

— Сиань
источник

спасибо за ответ, но я думаю, что это не то, что я спросил

— gioxc88

6

Я думаю, что это так, потому что если семейство распределений определяется объединением распределений и , то у вас есть противоречие со свойством. «Семейство» распределений - довольно смутное понятие.

X

$X$

Y

$Y$

— Сиань

да, на самом деле это довольно расплывчато, но если вы читаете мой вопрос, я написал, что в этом контексте с семьей я имею в виду, например, «Нормальный» или «Гамма» и т. д. Вы

— привели

4

Hard Core, вы, кажется, путаете название семьи с ее концепцией . Этот ответ является хорошим и хорошо иллюстрирует концепцию. Ваш вопрос не спрашивает, чтобы решение было семьей масштаба местоположения. Если вам нужно, чтобы он был единым, вы всегда можете взять этот ответ - или любой другой ответ - и продлить его до семейства масштаба, разрешив произвольные переводы и пересчеты. Точка зрения Сианя о количестве параметров остается в силе.

— whuber

@whuber Я думаю, что это путает как ответ. Сам по себе ученик-т был бы лучшим ответом, вместо того, чтобы использовать крайний ответ и не указывать его. Действительно, это который является третьим параметром.

d f = 3, \infty

$df=3,\infty$

d f

$df$

— Карл

6

Я думаю, вы спрашиваете, могут ли две случайные величины, происходящие из одного и того же семейства масштабов местоположения, иметь одинаковое среднее значение и дисперсию, но, по крайней мере, один другой более высокий момент. Ответ - нет.

Доказательство : пусть и две такие случайные величины. Поскольку и находятся в одном семействе масштабов местоположения, существует случайная величина и действительные числа такие что и . Поскольку и имеют одинаковое среднее значение и дисперсию, мы имеем: $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X$ $a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$ $X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ $X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$ $X_1$ $X_2$

$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$ .
$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$ .

Если , то с вероятностью , и, следовательно, старшие моменты и равны. Таким образом, мы можем предположить, что . Используя это, (2) подразумевает, что, Так как и , фактически мы имеем . В свою очередь, из (1) выше теперь следует, что . Следовательно, имеем: для любого , т. Всех моментов и $\operatorname{Var}[X] = 0$ $X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$ $1$ $X_1$ $X_2$ $\operatorname{Var}[X] \neq 0$ $|a_1|=|a_2|$ $a_1>0$ $a_2>0$ $a_1=a_2$ $b_1=b_2$

E [X_{1}^{k}] = E [(a_{1} X + b_{1})^{k}] = E [(a_{2} X + b_{2})^{k}] = E [X_{2}^{k}],

$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$

k

$k$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ все равны

— YYZZ
источник

1

(+1) Я не могу придраться к этому ответу. Видимо кто-то делает, и они также придираются к моему. Я не понимаю этого необъяснимого поведения.

— Карл

5

@Carl Этот ответ неправильный - вот почему его отвергают. Сиань уже предоставил контрпример.

— whuber

1

@whuber Пожалуйста, смотрите мои комментарии под ответом Сиань. Я не согласен с ним, но не отрицал, потому что и он, и вы имеете право на ваше мнение, даже если я считаю его неверным.

— Карл

8

@Carl После перечитывания этого ответа мне нужно отозвать свою первоначальную оценку: этот ответ правильный (и +1 за это), и он правильный, потому что он четко объясняет, как он интерпретирует исходный вопрос. (В частности, существует общая, но узкая концепция «семейства масштабов местоположения», состоящего из одного стандартного распределения вместе со всеми его переводами и положительными изменениями.) Я полагаю, что первоначальный вопрос был задан для того, чтобы задать что-то немного другое; Основой этого убеждения является ссылка на более чем два параметра в посте.

— whuber

2

Прошу прощения, если мне не очень ясно, и я благодарю вас за то время, которое вы потратили на изучение этого вопроса, но я не об этом спрашивал.

— gioxc88

1

Поскольку вопрос может быть истолкован разными способами, я разделю этот ответ на две части.

A: распределение семей.
B: семейства распределения масштаба местоположения.

Проблема со случаем A может быть легко решена / продемонстрирована многими семействами с параметром формы.

Проблема со случаем B является более сложной, поскольку кажется, что для определения местоположения и масштаба достаточно указать полтора параметра (местоположение в и масштаб в ), и возникает проблема: два параметра могут также использоваться для кодирования (нескольких) форм. Это не так тривиально. Мы можем легко придумать конкретные семейства шкал с двумя параметрами и продемонстрировать, что у вас нет разных форм, но это не доказывает, что это фиксированное правило для любых семейств с двумя параметрами. $\mathbb{R}$ $\mathbb{R_{>0}}$

A: Могут ли два разных распределения из одного и того же семейства двухпараметрических распределений иметь одинаковое среднее значение и дисперсию?

Ответ - да, и это уже можно показать, используя один из явно упомянутых примеров: нормализованное гамма-распределение

Семейство нормированных гамма-распределений

Пусть а - гамма-распределенная переменная. (Кумулятивное) распределение является следующим: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ $X$ $Z$

F_{Z} (z; k) = {\begin{cases} 0 & if & z < - \sqrt{k} \\ \frac{1}{Γ (k)} γ (k, z \sqrt{k} + k) & if & z \geq - \sqrt{k} \end{cases}

$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$

где - неполная гамма-функция. $\gamma$

Таким образом, здесь ясно, что разные и (распределения из семейства нормированных гамма-распределений) могут иметь одинаковое среднее значение и дисперсию (а именно и ), но различаться в зависимости от параметра (часто обозначаемого как параметр 'shape'). Это тесно связано с тем фактом, что семейство гамма-распределений не является семейством масштабов местоположения. $Z_1$ $Z_2$ $\mu=0$ $\sigma=1$ $k$

B: Могут ли два разных распределения из одного и того же семейства распределений масштаба расположения с двумя параметрами иметь одинаковое среднее значение и дисперсию?

Я считаю, что ответ будет отрицательным, если мы рассмотрим только гладкие семейства (гладкие: небольшое изменение параметров приведет к небольшому изменению распределения / функции / кривой). Но этот ответ не так тривиален, и когда мы будем использовать более общие (негладкие) семейства, тогда мы можем сказать « да» , хотя эти семейства существуют только в теории и не имеют практической значимости.

Создание семейства масштабов местоположения из одного распределения путем перевода и масштабирования

Из любого конкретного отдельного дистрибутива мы можем создать семейство масштабов местоположения путем перевода и масштабирования. Если является функцией плотности вероятности одиночного распределения, то функция плотности вероятности для члена семейства будет $f(x)$

f (x; μ, σ) = \frac{1}{σ} f (\frac{x - μ}{σ})

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$

Для семейства масштабов местоположения, которое может быть сгенерировано таким образом, мы имеем:

для любых двух членов и если их средние значения и дисперсии равны, то $f(x;\mu_1,\sigma_1)$ $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

Могут ли для всех двух семейств параметров масштабирования местоположения их распределения элементов быть сгенерированы из одного распределения элементов путем преобразования и масштабирования?

Таким образом, перевод и масштабирование могут преобразовать один дистрибутив в семейство масштабов местоположения. Вопрос заключается в том, верно ли обратное, и можно ли с помощью перевода и масштабирования описать каждые два параметра семейства масштабов местоположений (где параметры и не обязательно должны совпадать с местоположением и scale ) из одного члена из этой семьи. $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

Для конкретных двухпараметрических семейств с масштабом местоположения, таких как семейство нормальных распределений, не так уж сложно показать, что они могут быть сгенерированы в соответствии с описанным выше процессом (масштабирование и преобразование одного примера члена).

Можно задаться вопросом, возможно ли, чтобы каждые два параметра семейства масштабов местоположения генерировались из одного члена путем преобразования и масштабирования. Или противоречивое утверждение: «Может ли двухпараметрическое семейство масштабов местоположения содержать два разных распределения членов с одинаковым средним и дисперсией?», Для которого необходимо , чтобы семейство представляло собой объединение нескольких подсемейств, каждое из которых генерируется переводом и масштабирование.

Случай 1: Семейство обобщенных t-распределений Стьюдентов, параметризованных двумя переменными

Придуманный пример возникает, когда мы делаем какое-то отображение из в ( cardinality-of-mathbbr-and-mathbbr2 ), которое позволяет свободно использовать два параметра и для описания объединения нескольких подсемейств, которые генерируется переводом и масштабированием. $R^2$ $R^3$ $\theta_1$ $\theta_2$

Давайте используем (трехпараметрическое) обобщенное t-распределение Стьюдента:

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

с тремя параметрами, измененными следующим образом:

\begin{array}{rcl} μ & = & \tan (θ_{1}) \\ σ & = & θ_{2} \\ ν & = & ⌊ 0.5 + θ_{1} / π ⌋ \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$

тогда мы имеем

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

который можно рассматривать как семейство масштабов с двумя параметрами (хотя и не очень полезное), которое не может быть сгенерировано путем перевода и масштабирования только одного члена.

Случай 2: семейства масштаба местоположения, созданные отрицательным масштабированием одного распределения с ненулевым перекосом

Менее надуманный пример, чем использование этой функции загара, дается Уубер под комментариями ответа Карла. У нас может быть семейство котором изменение знака сохраняет среднее значение и дисперсию неизменными, но, возможно, изменяет неравные более высокие моменты. Таким образом, это немного упрощает семейство шкал с двумя параметрами, где члены с одинаковым средним и дисперсией могут иметь разные моменты более высокого порядка. Этот пример из Whuber можно разделить на два подсемейства, каждое из которых может быть сгенерировано из одного члена путем преобразования и масштабирования. $x \mapsto f(x/b + a)$ $b$

Гладкие семьи

Если мы попытаемся создать одно гладкое семейство двухпараметрических распределений (гладкое: небольшое изменение параметров приведет к небольшому изменению распределения / функции / кривой), каким-то образом составив композицию из двух или более семейств, которые генерируются в результате преобразования и масштабирование, тогда мы сталкиваемся с проблемами, чтобы два параметра охватывали как изменение «среднего» и «дисперсии», так и третий параметр «форма». Формальное доказательство должно идти тем же путем, что и ответ на вопрос: существует ли гладкая сюръективная функция ? $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ (где ответ отрицательный в случае гладких , т.е. бесконечно дифференцируемых, функций, хотя существуют непрерывные функции, которые будут выполнять работу, такие как кривые Пеано).

Интуиция: представьте, что есть некоторые параметры , которые описывают распределения в некотором семействе распределений в масштабах местоположения и с помощью которых мы можем изменить среднее значение и дисперсию, а также некоторые другие моменты, тогда мы сможем выразить , , в терминах среднего значения и дисперсии $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

\begin{array}{rcl} θ_{1} & = & f_{θ_{1}} (μ, σ) \\ θ_{2} & = & f_{θ_{2}} (μ, σ) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$

но это должны быть многозначные функции, и они не могут выполнять непрерывные переходы; различные значения из для конкретного и не являются непрерывными и не смогут моделировать параметр непрерывной формы. $f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$ $\mu$ $\sigma$

Я на самом деле не так уверен в этой заключительной части. Мы могли бы использовать кривую заполнения пространства (такую как кривая Пеано, если бы мы только знали, как выразить координаты на кривой в координаты гиперкуба), чтобы один параметр полностью моделировал множество объектов, таких как среднее значение и дисперсия, без отказ от свойства, что небольшое изменение параметра эквивалентно небольшому изменению функции в каждом $\theta_1$ $\theta_1$ $f(x;\theta_1)$ $x$

— Секст Эмпирик
источник

1

Я перестал читать после первоначальных определений, потому что они настолько неясны и противоречивы. Под «интегрированием» вы, конечно, подразумеваете интеграцию только по . $x$ Под " " вы должны понимать CDF, а не PDF, потому что деление на меняет интеграл. Не налагая никаких ограничений на то, как может меняться в зависимости от вы также принимаете гораздо более широкое понятие "семья", чем обычно. Только это позволяет вам обсуждать «карту от до ». Проблема этих «карт» в том, что они не могут быть непрерывными и не будут иметь статистического значения.

f,

$f,$

b \neq 1

$b\ne 1$

f

$f$

θ

$\theta$

R^{2}

$R^2$

R^{3} .

$R^3.$

2

Я не возражаю против простоты или языка, но против замешательства, которое сеют. Проблема с вашей картой указывает, почему вам нужно наложить дополнительную математическую структуру - подходящую топологию - на семейство. Позволять распределению меняться таким (насильственно) прерывистым образом с не только нецелесообразно и бессмысленно, но, скорее всего, оно лишает законной силы полезные методы и теоремы без веской причины. Например, MLE почти всегда выполняется в предположении, что распределение изменяется с кусочно дифференцируемым образом.

R^{2} \to R^{3}

$R^2\to R^3$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

1

Второй пункт неверен: он не следует ни из одного из предположений и не является частью определения семейства масштабов местоположения.

— whuber

1

Это очень запутанно, потому что теперь все ссылки на излишни. Я полагаю, что квантификаторы, приведенные в вашем заявлении, могут неправильно отражать вашу идею. Почему бы просто не отбросить и просто заявить, что семейство состоит из набора распределений для одного заданного и всех с ? Также нет необходимости ссылаться на средние значения и отклонения - это просто отвлечение от основной идеи, которая не требует от каких-либо моментов вообще.

θ_{i}

$\theta_i$

θ_{i}

$\theta_i$

x \to F (b x + a)

$x \to F(bx + a)$

F

$F$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b)\in\mathbb{R}^2$

b > 0

$b\gt 0$

F

$F$

— whuber

1

@whuber, если вы генерируете семейство масштабов местоположения из одного примера, тогда действительно может показаться, что использовать и гораздо проще . Здесь я, однако, воображаю, что у нас уже есть семейство кривых, параметризованных некоторыми альтернативными и и мне интересно, возможно ли, чтобы такое семейство содержало больше кривых, чем только кривые, созданные путем масштабирования одного члена с помощью и (как в преобразовании с касательной). Я посмотрю, смогу ли я снова изменить формулировку (вы не согласны с идеей или с формулировкой?).

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

θ_{1}

$\theta_1$

θ_{2}

$\theta_2$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Секст Эмпирик