Как запрограммировать симуляцию Монте-Карло парадокса Бертрана?

Следующая проблема была размещена на Mensa International на странице Facebook:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Само сообщение получило более 1000 комментариев, но я не буду вдаваться в подробности о дебатах, поскольку знаю, что это парадокс Бертранда и ответ . Что меня здесь интересует, так это то, как можно решить эту проблему, используя подход Монте-Карло? Как работает алгоритм для решения этой проблемы?$\frac23$

Вот моя попытка:

1. Генерация равномерно распределенных случайных чисел от до .0 $N$$0$$1$
2. Пусть событие коробки содержит 2 выбранных золотых шара (поле 1) меньше половины.
3. Подсчитайте число , что меньше , чем и вызвать результат в виде .$0.5$$S$
4. Так как получение золотого шара является гарантией, если выбран ящик 1, и только 50% шанс получить золотой шар, если выбран ящик 2, следовательно, вероятность получения последовательности GG равна $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Реализуя алгоритм выше в R:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

Вывод программы выше составляет около что почти соответствует правильному ответу, но я не уверен, что это правильный путь. Есть ли правильный способ решить эту проблему программно?$0.67$

Как @Henry , я действительно не чувствую, что ваше решение Монте-Карло. Конечно, вы делаете выборку из дистрибутива, но это не имеет ничего общего с имитацией процесса генерации данных. Если вы хотите использовать метод Монте-Карло, чтобы убедить кого-то в правильности теоретического решения, вам необходимо использовать решение, которое имитирует процесс генерирования данных. Я хотел бы представить что-то вроде ниже:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

или используя "векторизованный" код:

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

Обратите внимание на то, что если вы примите во внимание тот факт, что первый шарик уже нарисован, и он золотой, то приведенный выше код может просто использовать два поля, boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))а затем брать из них образцы x <- boxes[[sample(2, 1)]], поэтому код будет быстрее, так как он не получит 1/3 пустые пробеги, которые мы делаем скидку. Однако, поскольку проблема проста и код выполняется быстро, мы могли бы позволить себе явно смоделировать весь процесс генерации данных, «чтобы быть уверенным», что результат верен. Кроме того, этот шаг не нужен, поскольку он даст одинаковые результаты в обоих случаях.

Я чувствую, что ваш S/(S+0.5*(N-S))расчет на самом деле не симуляция

Попробуйте что-то вроде этого

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

Почему бы просто не перечислить дела?

Здесь: G для «золота», S для «серебра», капитал для первоначальной добычи:

Гг

Гг

Gs

... все остальные случаи предполагают начальное извлечение серебра (S) и не удовлетворяют условному (начальное извлечение G).

Таких, P (g | G) = 2/3.