Отображение является стандартным Коши, когда является стандартным Коши


9

Если , найдите распределение .XC(0,1)Y=2X1X2

Мы имеемFY(y)=Pr(Yy)

=Pr(2X1X2y)

={Pr(X(,11+y2y])+Pr(X(1,1+1+y2y]),ify>0Pr(X(1,1+1+y2y])+Pr(X(1,11+y2y]),ify<0

Интересно, правильное различие в приведенном выше случае или нет.

С другой стороны, следующий метод кажется более простым:

Мы можем написать используя тождествоY=tan(2tan1X)2tanz1tan2z=tan2z

ТеперьXC(0,1)tan1XR(π2,π2)

2tan1XR(π,π)

tan(2tan1X)C(0,1) , причем последним является преобразование 2-в-1.

Но если меня попросят вывести распределение из определения, я думаю, что первый метод - это то, как я должен действовать. Расчет становится немного грязным, но могу ли я прийти к правильному выводу? Любое альтернативное решение также приветствуется.Y


Непрерывные одномерные распределения (том 1) Джонсона-Коц-Балакришнана высветили это свойство распределения Коши. Оказывается, это всего лишь частный случай общего результата.

введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь


4
Второе решение совершенно правильно, поэтому не должно быть никаких возражений.
Сиань

1
Приложение: поскольку , первое разрешение должно заканчиваться использованием этого тождества на касательной. P(X<x)=tan1(x)/π+1/2
Сиань

@ Сиань На самом деле я пытаюсь закончить аргумент в первом методе.
StubbornAtom

Ответы:


6

Альтернативный, более простой способ взглянуть на это:

стандартное распределение Коши:

f(x)dx=π1x2+1dx

преобразования переменных:

u(x)=2x1x2andx1(u)=1u2+1u,x2(u)=1+u2+1u

преобразование распределения:

g(u)du=i=1,2f(xi(u))|dxidu|du

Если вы работаете с тем, что не должно становиться таким грязным, то вы получите

g(u)=π1u2+1

графическое представление

интуитивно понятное графическое представление преобразования


Этот вид работает как тождество , но написано более явно.2tanz1tan2z=tan2z

Или как ваше представление с помощью функции разделения кумулятивного распределения но теперь для разделения в .FY(y)=Pr(Yy)fY(y)=Pr(y12dyYy+12dy)


2
На самом деле, формула преобразования, когда имеет более одного корня для любого заданного , скажем, для , естьТаким образом, дополнение, которое вы описываете как необходимое, фактически встроено в формулу. x(u)uxi(u)=ui=1,2,n
g(u)=i=1nf(xi(u))|dxi(u)du|,
Дилип

@DilipSarwate я его поменяю.
Секст Эмпирик

3

Преобразование во втором подходе кажется не мотивированным (некоторые детали в этом также должны быть заполнены). Здесь, исходя из вычисления характеристической функции, я пытаюсь подтвердить ваше «таинственное» преобразование.

Характеристическая функция может быть рассчитана следующим образом: который предлагает нам попробовать преобразование , которое приводит к Y

φY(t)=E[eitY]=eit2x1x21π(1+x2)dx=1πeit2x1x2darctanx,
u=arctanx
(1)φY(t)=1ππ/2π/2eit2tanu1tan2udu=1ππ/2π/2eittan(2u)du.

Наша цель - показать, что интеграл в равен характеристической функции стандартной случайной величины Коши : (1)X

φX(t)=eitx1π(1+x2)dx(2)=1ππ/2π/2eittanudu

Почему интеграл в равен интегралу в ? На первый взгляд, это немного нелогично. Чтобы убедиться в этом, нам нужно тщательно обработать монотонность функции . Давайте продолжим работать над :(1)(2)tan()(1)

φY(t)=1ππ/2π/2eittan(2u)du=12πππeittanvdv(Change of variable v=2u)=12π[ππ/2+π/2π/2+π/2π]eittanudu=12φX(t)+12πππ/2eittanvdv+12ππ/2πeittanvdv(3)=12φX(t)+12ππ/20eittanu1du1+12π0π/2eittanu2du2(4)=12φX(t)+12ππ/2π/2eittanvdv=φX(t)(5)

(3) : поскольку функция не является монотонной на интервале , я сделал такое деление таким образом, чтобы каждое подынтегральное выражение было монотонным на отдельном интервале (что обеспечивает последующее изменение переменные формулы действительны).utan(u)(π,π)

(4) : две формулы изменения переменных: и .u1=πvu2=πv

(5) : Последнее изменение формулы переменной .u=v

Шаги - разработали утверждение «последнее является преобразованием 2-в-1» в вопросе OP.(3)(5)


Интересно, почему второй подход «таинственный» или «не хватает мотивации». Тот факт, что является очень стандартным результатом, который легко видно с использованием вероятностного интегрального преобразования. И на последнем шаге, где я иду от к , возможно, это оправдано следующим образом:ΘRect(π/2,π/2)tan(Θ)C(0,1)URect(π,π)V=tanUC(0,1)
StubbornAtom

... . Я различаю вышеприведенное по чтобы получить , где я умножаю якобиан на 2 потому что преобразование два к одному в . Все это можно выразить более строго, я думаю. FV(v)=Pr(tanUv)=FU(tan1v)vfV(v)=fU(tan1v)2ddv(tan1v)(π,π)
StubbornAtom
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.