Что это означает с -алгеброй, порожденной случайной величиной?

Часто в ходе моего (самостоятельного) изучения статистики я встречал терминологию « -algebra, порожденная случайной величиной». Я не понимаю определения в Википедии , но самое главное, я не понимаю интуицию. Почему / когда нам нужны алгебры, порожденные случайными величинами? В чем их смысл? Я знаю следующее: $\sigma$ $\sigma-$

- алгебра на множестве является непустым семейством подмножеств , которая содержит , замкнуто относительно дополнения и под счетным объединением. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
мы вводим -алгебры для построения вероятностных пространств на бесконечных выборочных пространствах. В частности, если неисчислимо бесконечно, мы знаем, что могут существовать неизмеримые подмножества (множества, для которых мы не можем определить вероятность). Таким образом, мы не можем просто использовать набор мощности качестве нашего набора событий . Нам нужен меньший набор, который все еще достаточно велик, чтобы мы могли определить вероятность интересных событий, и мы можем говорить о сходимости последовательности случайных величин. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

Короче говоря, я думаю, что у меня есть честное интуитивное понимание $\sigma-$ . Я хотел бы иметь подобное понимание для $\sigma-$ алгебр, порожденных случайными переменными: определение, зачем они нам нужны, интуиция, пример ...

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
источник

Одна из эффективных (и интуитивно значимых) характеристик состоит в том, что это самая грубая сигма-алгебра на

которая делает измеримую случайную величину.

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber грубый означает самый маленький? Другими словами, у меня есть мое вероятностное пространство

, у меня есть RV

(которое измеримо по определению случайной величины), и

- это наименьшее подмножество в

такое, что

все еще измеримы. Хорошо, но напрашивается вопрос, что означает интуитивно, что

измеримо :-) имеет ли смысл говорить, что мы можем определить вероятность всех событий типа

и объединений / пересечений?

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$

— DeltaIV

Просмотр одного

за раз дает мало интуиции в отношении измеримости. Эта концепция вступает в свои права при изучении коллекций случайных величин - случайных процессов. В свою очередь, простейшие случайные процессы (такие как конечные дискретные биномиальные случайные блуждания) обеспечивают интерпретируемую установку, в которой сигма-алгебру, порожденную всеми переменными

можно рассматривать как «информацию, доступную до к (и в том числе) времени

. "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber извините, я не понимаю :) Буду признателен, если вы укажете мне другой ваш ответ, где вы пойдете более подробно, или если вы хотели бы расширить это как ответ. В противном случае не волнуйтесь - может быть, я недостаточно знаю о стохастических процессах, чтобы понять вашу точку зрения. Хотя мне нужно отточить свои навыки в динамической байесовской сети, так что, если эта интуиция поможет при работе над временными рядами, мне будет очень интересно.

— DeltaIV

См. Stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Также могут быть полезны stats.stackexchange.com/a/164995/919 и stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Рассмотрим случайную величину $X$ . Мы знаем, что $X$ есть не что иное, как измеримая функция из $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ в $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ - борелевские множества вещественной прямой. По определению измеримости мы знаем, что имеем

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Но на практике прообразы борелевских множеств могут быть не полностью $\mathcal{A}$ а вместо этого они могут составлять гораздо более грубое его подмножество. Чтобы увидеть это, давайте определимся

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Используя свойства прообразов, нетрудно показать, что $\mathcal{\Sigma}$ является сигма-алгеброй. Из этого также сразу следует, что $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , следовательно, $\mathcal{\Sigma}$ является суб-сигма-алгеброй. Далее, по определениям легко видеть, что отображение $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ измеримо. $\mathcal{\Sigma}$ на самом деле является самой маленькой сигма-алгеброй, которая делает $X$ случайной величиной, так как все другие сигма-алгебры такого типа, по крайней мере, включают $\mathcal{\Sigma}$ , По той причине , что мы имеем дело с прообразов случайной величины $X$ , мы называем $\mathcal{\Sigma}$ сигма-алгебра , индуцированный случайной величины $X$ .

Вот крайний пример: рассмотрим постоянную случайную величину $X$ , то есть $X(\omega) \equiv \alpha$ . Тогда $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ равна либо $\Omega$ , или $\varnothing$ в зависимости от того , $\alpha \in B$ . Сигма-алгебра , таким образом , генерируется тривиально и , как таковой, он, безусловно , включены в $\mathcal{A}$ .

Надеюсь это поможет.

— JohnK
источник

набор событий, верно? Тот, который я обозначил с

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV

Да, я был рожден с условием нахождения

более привлекательным , чем

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK

отлично! Очень ясно. Вы должны написать книгу :)

— DeltaIV