Различия между статистической моделью и моделью вероятности?

Прикладная вероятность - важная ветвь в вероятности, включая вычислительную вероятность. Поскольку статистика использует теорию вероятностей для построения моделей для работы с данными, насколько я понимаю, мне интересно, в чем принципиальная разница между статистической моделью и моделью вероятности? Вероятностная модель не нуждается в реальных данных? Спасибо.

probability mathematical-statistics

— Хонгланг Ван
источник

Вероятностная модель состоит из триплета , где представляет собой выборочное пространство, является - алгебра (события) и является вероятностной мерой на . $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $\sigma$ ${\mathbb P}$ ${\mathcal F}$

Интуитивное объяснение . Модель вероятности может быть интерпретирована как известная случайной величиной . Например, пусть будет нормально распределенной случайной величиной со средним значением и дисперсией . В этом случае мера вероятности связана с функцией накопительного распределения (CDF) через $X$ $X$ $0$ $1$ ${\mathbb P}$ $F$

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

Обобщения . Определение вероятностной модели зависит от математического определения вероятности, см., Например, « Свободная вероятность» и « Квантовая вероятность» .

Статистическая модель представляет собой набор вероятностных моделей, это, множество вероятностных мер / распределения на образец пространства . ${\mathcal S}$ $\Omega$

Этот набор вероятностных распределений обычно выбирается для моделирования определенного явления, из которого у нас есть данные.

$\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$ разумно рассмотреть.

Обобщения . В этой статье дается очень формальное определение Статистической Модели, но автор упоминает, что «Байесовская модель требует дополнительного компонента в форме предварительного распределения ... Хотя Байесовские формулировки не являются основной целью этой статьи». Поэтому определение Статистической Модели зависит от типа используемой нами модели: параметрической или непараметрической. Также в параметрической настройке определение зависит от того, как обрабатываются параметры (например, Классический или Байесовский).

$\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$

Ни одному из них не требуется набор данных, но я бы сказал, что для моделирования обычно выбирается статистическая модель.

— Сиань
источник

@HonglangWang В некоторой степени это правильно. Основное отличие состоит в том, что вероятностная модель - это только одно (известное) распределение, в то время как статистическая модель представляет собой набор вероятностных моделей; данные используются для выбора модели из этого набора или меньшего подмножества моделей, которые лучше (в определенном смысле) описывают явление (в свете данных).

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$

Ω

$\Omega$

F

${\mathcal F}$

σ -

$\sigma-$

σ -

$\sigma-$

X

$X$ Опять же это не наблюдается. Я не уверен, как объяснить это на интуитивном уровне.

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

Ω

$\Omega$

X

$X$

Ω

$\Omega$

X

$X$

F

$\mathcal{F}$

— whuber

F

$\mathcal{F}$