Ожидаемое значение логарифма нецентрального экспоненциального распределения


9

Предположим, что нецентрально экспоненциально распределен с местоположением и скоростью . Тогда что такое .Иксλ E ( log ( X ) )КλЕ(журнал(Икс))

Я знаю, что для ответ где - постоянная Эйлера-Маскерони. А когда ?- log ( λ ) - γ γ k > 0Кзнак равно0-журнал(λ)-γγК>0


Вы пробовали интегрироваться в Mathematica?

4
Я предполагаю, что (когда плотность записывается как ,), иначе с вероятностью> 0, с ужасными последствиями для . К>0λехр{-λ(Икс-К)}Икс<0ЕжурналИкс
jbowman

2
Я получил . Mathematica работает быстрее, если вы используете команду для указания пространства параметров. Е[журнал(Икс)]знак равноеКλΓ(0,Кλ)+журнал(К)Assumptions

4
Считает ли верхняя неполная гамма-функция замкнутой формой ? (Для меня это не так.) Это просто удобно скрывать интеграл через нотацию.
кардинал

2
@NeilG Это код Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Вы можете просто скопировать его и вставить в файл .nb. Я не уверен, позволяет ли Wolfram Alpha включать ограничения.

Ответы:


11

Желаемый интеграл может быть приведен в подчинение путем грубых манипуляций; здесь мы вместо этого пытаемся дать альтернативный вывод с немного более вероятностным ароматом.

Пусть - нецентральная экспоненциальная случайная величина с параметром местоположения и параметром скорости . Тогда где .k > 0 λ X = Z + k Z E x p ( λ )Икс~ЕИксп(К,λ)К>0λИксзнак равноZ+КZ~ЕИксп(λ)

Обратите внимание, что и т. Д., Используя стандартный факт для вычисления ожидания неотрицательных случайных величин , Но на поскольку и поэтому где последнее равенство следует из подстановкиE log ( X / k ) = 0 P ( log ( X / k ) > z )журнал(Икс/К)0P ( Z > k ( e z - 1 ) ) = exp ( - λ k ( e z - 1 ) ) z 0 Z E x p ( λ ) E log ( X / k ) = e λ k 0 exp ( - λ k e z )

Ежурнал(Икс/К)знак равно0п(журнал(Икс/К)>Z)dZзнак равно0п(Z>К(еZ-1))dZ,
п(Z>К(еZ-1))знак равноехр(-λК(еZ-1))Z0Z~ЕИксп(λ)
Ежурнал(Икс/К)знак равноеλК0ехр(-λКеZ)dZзнак равноеλКλКT-1е-TdT,
Tзнак равноλКеZ, отмечая, что .dZзнак равноdT/T

Интеграл по правому размеру последнего отображения по определению равен просто , поэтому что подтверждается вычислениями @ Procrastinator's Mathematica в комментариях к вопросу.Γ(0,λК)

ЕжурналИксзнак равноеλКΓ(0,λК)+журналК,

NB . Эквивалентное обозначение также часто используется вместо .Е1(Икс)Γ(0,Икс)


4
+1 @ Михаил Черник Кажется, не все ленивы;).

Это действительно здорово. Я просто хочу отметить для любого, кто реализует это, что многие реализации неполной гамма-функции ограничивают первый параметр, чтобы быть строго положительным. Тождество решает эту незначительную проблему. Γ(0,Z)знак равно-Ei(-Z)
Нил Дж
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.