Ожидаемое значение логарифма нецентрального экспоненциального распределения

Предположим, что нецентрально экспоненциально распределен с местоположением и скоростью . Тогда что такое . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Я знаю, что для ответ где - постоянная Эйлера-Маскерони. А когда ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Нил Г
источник

Вы пробовали интегрироваться в Mathematica?

Я предполагаю, что (когда плотность записывается как ,), иначе с вероятностью> 0, с ужасными последствиями для .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Я получил . Mathematica работает быстрее, если вы используете команду для указания пространства параметров.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Считает ли верхняя неполная гамма-функция замкнутой формой ? (Для меня это не так.) Это просто удобно скрывать интеграл через нотацию.

— кардинал

@NeilG Это код Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Вы можете просто скопировать его и вставить в файл .nb. Я не уверен, позволяет ли Wolfram Alpha включать ограничения.

Желаемый интеграл может быть приведен в подчинение путем грубых манипуляций; здесь мы вместо этого пытаемся дать альтернативный вывод с немного более вероятностным ароматом.

Пусть - нецентральная экспоненциальная случайная величина с параметром местоположения и параметром скорости . Тогда где . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Обратите внимание, что и т. Д., Используя стандартный факт для вычисления ожидания неотрицательных случайных величин , Но на поскольку и поэтому где последнее равенство следует из подстановки $\log(X/k) \geq 0$

Е журнал (Икс / К) знак равно \int_{0}^{\infty} п (журнал (Икс / К) > Z) d Z знак равно \int_{0}^{\infty} п (Z > К (е^{Z} - 1)) d Z,

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Е журнал (Икс / К) знак равно е^{λ К} \int_{0}^{\infty} ехр (- λ К е^{Z}) d Z знак равно е^{λ К} \int_{λ К}^{\infty} T^{- 1} е^{- T} d T,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , отмечая, что .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Интеграл по правому размеру последнего отображения по определению равен просто , поэтому что подтверждается вычислениями @ Procrastinator's Mathematica в комментариях к вопросу. $\Gamma(0,\lambda k)$

Е журнал Икс знак равно е^{λ К} Γ (0, λ К) + журнал К,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB . Эквивалентное обозначение также часто используется вместо . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— кардинальный
источник

+1 @ Михаил Черник Кажется, не все ленивы;).

Это действительно здорово. Я просто хочу отметить для любого, кто реализует это, что многие реализации неполной гамма-функции ограничивают первый параметр, чтобы быть строго положительным. Тождество решает эту незначительную проблему.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Нил Дж