Предположим, что нецентрально экспоненциально распределен с местоположением и скоростью . Тогда что такое .λ E ( log ( X ) )
Я знаю, что для ответ где - постоянная Эйлера-Маскерони. А когда ?- log ( λ ) - γ γ k > 0
Assumptions
Предположим, что нецентрально экспоненциально распределен с местоположением и скоростью . Тогда что такое .λ E ( log ( X ) )
Я знаю, что для ответ где - постоянная Эйлера-Маскерони. А когда ?- log ( λ ) - γ γ k > 0
Assumptions
Ответы:
Желаемый интеграл может быть приведен в подчинение путем грубых манипуляций; здесь мы вместо этого пытаемся дать альтернативный вывод с немного более вероятностным ароматом.
Пусть - нецентральная экспоненциальная случайная величина с параметром местоположения и параметром скорости . Тогда где .k > 0 λ X = Z + k Z ∼ E x p ( λ )
Обратите внимание, что и т. Д., Используя стандартный факт для вычисления ожидания неотрицательных случайных величин , Но на поскольку и поэтому где последнее равенство следует из подстановкиE log ( X / k ) = ∫ ∞ 0 P ( log ( X / k ) > z )P ( Z > k ( e z - 1 ) ) = exp ( - λ k ( e z - 1 ) ) z ≥ 0 Z ∼ E x p ( λ ) E log ( X / k ) = e λ k ∫ ∞ 0 exp ( - λ k e z )
Интеграл по правому размеру последнего отображения по определению равен просто , поэтому что подтверждается вычислениями @ Procrastinator's Mathematica в комментариях к вопросу.
NB . Эквивалентное обозначение также часто используется вместо .