Пусть - вероятностное пространство. По определению две случайные величины X , Y : Ω → R независимы, если их σ- алгебры S X : = σ ( X ) и S Y : = σ ( Y ) независимы, т. Е. ∀ A ∈ S X , B ∈ S Y у нас есть P ( A ∩(Ω,F,P)X,Y:Ω→RσSX:=σ(X)SY:=σ(Y)∀A∈SX,B∈SY .P(A∩B)=P(A)P(B)
Пусть и возьмем G = { g a : a ∈ Q } (спасибо @grand_chat за указание на то, что Q достаточно). Тогда имеем
E ( g a ( X ) g b ( Y ) ) = E ( I ( X ≤ a ) I ( Y ≤ b )ga(x)=I(x≤a)G={ga:a∈Q}Q
и
E ( g a ( X ) ) E ( g b ( Y ) ) = P ( X ≤ a ) P ( Y ≤ b ) .
E(ga(X)gb(Y))=E(I(X≤a)I(Y≤b))=E(I(X≤a,Y≤b))=P(X≤a∩Y≤b)
E(ga(X))E(gb(Y))=P(X≤a)P(Y≤b).
Если предположить, что P ( X ≤ a ∩ Y ≤ b ) = P ( X ≤ a ) P ( Y ≤ b ),
то мы можем обратиться к теореме π - λ, чтобы показать, что
P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B )∀a,b∈Q
P(X≤a∩Y≤b)=P(X≤a)P(Y≤b)
π−λ
т.е.
Х ⊥ Y .
P(A∩B)=P(A)P(B)∀A∈SX,B∈SY
X⊥Y
Так что, если я не допустил ошибку, мы, по крайней мере, получили счетный набор таких функций, и это относится к любой паре случайных величин, определенных в общем вероятностном пространстве.