Почему ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Мы имеем дело с логнормальным распределением в финансовом курсе, и мой учебник просто утверждает, что это правда, что я нахожу разочаровывающим, поскольку мой математический фон не очень силен, но я хочу интуицию. Кто-нибудь может показать мне, почему это так?

Напомним, что $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Итак, $e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Теперь, допустив, что , имеем:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

теперь беру бревна обеих сторон

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

В качестве альтернативы:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (где )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

Теперь возьмите ожидания обеих сторон:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Иллюстрация (показывающая связь с неравенством Дженсена):

( Здесь роли X и Y меняются местами так, чтобы они соответствовали осям графика; лучшее планирование поменялось бы их ролями выше, чтобы график более точно соответствовал алгебре. )

Сплошные цветные линии представляют средства на каждой оси.

$X$$Y$$Y$