Когда нарушается закон больших чисел?

Вопрос заключается в том, что указано в заголовке: когда закон больших чисел не работает? Я имею в виду, в каких случаях частота события не будет стремиться к теоретической вероятности?

Есть две теоремы (Колмогорова), и обе требуют, чтобы ожидаемое значение было конечным. Первое имеет место, когда переменные являются IID, второе, когда выборка независима и дисперсия удовлетворяет$X_n$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$$

Скажем, что все имеют ожидаемое значение 0, но их дисперсия равна n $X_n$$n^2$ так что условие явно не выполняется. Что происходит потом? Вы все еще можете вычислить приблизительное среднее значение, но это значение не будет стремиться к 0, когда вы выбираете глубже и глубже. Это будет иметь тенденцию отклоняться все больше и больше, когда вы продолжаете выборку.

Давайте приведем пример. Скажем, что является равномерным U ( - n 2 $X_n$ так что указанное выше условие не выполняется эпически.$U(-n2^n , n2^n)$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$$

Отмечая, что

$$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$$

по индукции мы видим, что вычисленное среднее всегда находится в интервале ( - 2 n , 2 n ) . Используя ту же формулу для п + 1 , мы видим , что всегда есть шанс больше , чем 1 / 8 , что ˉ X п + 1 лежит вне ( - 2 $\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$n+1$$1/8$$\bar{X}_{n+1}$ . Действительно, X n + $(-2^n, 2^n)$ является равномернымU(-2n+1,2n+1)и лежит снаружи(-2n,$\frac{X_{n+1}}{n+1}$$U(-2^{n+1},2^{n+1})$ с вероятностью 1 $(-2^n, 2^n)$ . С другой стороны,$1/4$в(-2л,2л)по индукции, асилу симметрии она положительна с вероятностью1/2. Из этих наблюдений непосредственно следуетчто ˉ Х п+1большечем2лили меньше-2л, каждый с вероятностью большечем1/16. Поскольку вероятность того, что| ˉ X n+1| $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$$(-2^n, 2^n)$$1/2$$\bar{X}_{n+1}$$2^n$$-2^n$$1/16$ больше$|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$ , не может быть сходимость к 0 при п стремится к бесконечности.$1/8$$n$

Теперь, чтобы конкретно ответить на ваш вопрос, рассмотрим событие . Если я правильно понял, вы спросите: «При каких условиях следующее утверждение неверно?»$A$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$$

где является индикаторной функцией события A , т.е. 1 A ( X k ) = 1, если X k ∈ A и 0 в противном случае и X $1_A$$A$ $1_A(X_k) = 1$$X_k \in A$$0$$X_k$ распределены одинаково (и распределены как ).$X$

$X_k$

$X_k$$X_1$$k$ тогда соотношение будет равно 1 или 0, независимо от значения $n$, поэтому сходимости не происходит (если только $A$имеет вероятность 0 или 1, конечно). Это фальшивый и экстремальный пример. Мне не известны практические случаи, когда сближение с теоретической вероятностью не произойдет. Тем не менее, потенциальность существует, если выборка не является независимой.