Операция случайности в детерминированном мире

15

В книге Стивена Пинкера « Лучшие ангелы нашей природы» он отмечает, что

Вероятность - это вопрос перспективы. При рассмотрении с достаточно близкого расстояния отдельные события имеют определенные причины. Даже бросок монеты может быть предсказан исходя из начальных условий и законов физики, и опытный маг может использовать эти законы, чтобы бросать головы каждый раз. Тем не менее, когда мы уменьшаем масштаб, чтобы широко рассмотреть большое количество этих событий, мы видим сумму огромного числа причин, которые иногда компенсируют друг друга, а иногда выстраиваются в одном направлении. Физик и философ Анри Пуанкаре объяснил, что мы видим действие случайности в детерминированном мире, либо когда большое количество мелких причин приводит к огромному эффекту, либо когда небольшая причина, которая ускользает от нашего внимания, определяет большой эффект, который мы не можем пропустить ,В случае организованного насилия кто-то может захотеть начать войну; он ждет подходящего момента, который может или не может прийти; его враг решает вступить в бой или отступить; пули летят; взрыв бомб; люди умирают. Каждое событие может определяться законами нейробиологии, физики и физиологии. Но в совокупности многие причины, которые входят в эту матрицу, иногда могут быть перемешаны в экстремальные комбинации. (с. 209)

Меня особенно интересует жирное предложение, а остальное я даю для контекста. Мой вопрос: существуют ли статистические способы описания двух процессов, описанных Пуанкаре? Вот мои догадки:

1) «Большое количество мелких причин приводит к огромному эффекту». «Большое количество причин» и «сложение» звучат для меня как центральная предельная теорема . Но в (классическом определении) CLT причинами должны быть случайные переменные, а не детерминированные эффекты. Является ли стандартный метод здесь для аппроксимации этих детерминированных эффектов как некой случайной величины?

2) «Небольшая причина, которая ускользает от нашего уведомления, определяет большой эффект, который мы не можем пропустить». Мне кажется, что вы могли бы думать об этом как о некой скрытой марковской модели . Но (ненаблюдаемые) вероятности перехода состояний в НММ - это просто вероятности, которые по определению снова не являются детерминированными.

probability central-limit-theorem intuition

— Энди МакКензи
источник

7

Интересная мысль (+1).

В случаях 1) и 2) проблема та же: у нас нет полной информации. А вероятность - это мера недостатка информации.

1) Младшие причины могут быть чисто детерминированными, но какие конкретные причины действуют, невозможно определить детерминистским процессом. Подумайте о молекулах в газе. Применяются законы механики, так что здесь случайного? Информация скрыта для нас: где находится какая молекула, с какой скоростью. Таким образом, CLT применяется не потому, что в системе присутствует случайность, а потому, что в нашем представлении системы есть случайность .

2) В HMM есть временной компонент, который не обязательно присутствует в этом случае. Моя интерпретация такая же, как и раньше, система может быть не случайной, но наш доступ к ее состоянию имеет некоторую случайность.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Я не знаю, думал ли Пуанкаре о другом статистическом подходе для этих двух случаев. В случае 1) мы знаем varialbes, но мы не можем измерить их, потому что их слишком много и они слишком малы. В случае 2) мы не знаем переменных. В обоих случаях вы в конечном итоге делаете предположения и моделируете наблюдаемое как можно лучше, и довольно часто мы принимаем Нормальность в случае 2).

Но все же, если бы было одно отличие, я думаю, что это будет появление . Если бы все системы определялись суммами мелких причин, то все случайные величины физического мира были бы гауссовыми. Понятно, что это не так. Почему? Потому что масштаб имеет значение. Почему? Поскольку новые свойства возникают из взаимодействий в меньшем масштабе, и эти новые свойства не должны быть гауссовыми. На самом деле, у нас нет статистической теории появления (насколько я знаю), но, может быть, однажды мы это сделаем. Тогда будет оправдано иметь разные статистические подходы для случаев 1) и 2)

— gui11aume
источник

1

Спасибо за ответ. Согласитесь, что оба сводятся к тому, что у нас нет полной информации - это хороший способ ее сформулировать. Тем не менее, я хотел бы видеть ответ, который различает два случая больше. О чем думал Пуанкаре?

— Энди МакКензи

Я вижу, что вы беспокоитесь. Я отредактировал свой ответ, чтобы попытаться ответить как можно лучше.

— gui11aume

4

Я думаю, что вы слишком много читаете в заявлении. Кажется, все лежит в основе того, что мир является детерминированным и что люди моделируют его вероятностно, потому что легче приблизиться к тому, что происходит таким образом, чем пройти через все детали физики и любые другие математические уравнения, которые его описывают. Я думаю, что существует давняя дискуссия о детерминизме и случайных эффектах, особенно между физиками и статистиками. Меня особенно поразили следующие предыдущие предложения к тому, что вы выделили. «Даже бросок монеты может быть предсказан исходя из начальных условий и законов физики, и опытный маг может использовать эти законы, чтобы бросать головы каждый раз». Когда я был аспирантом в Стэнфорде в конце 1970-х годов, Перси Диаконис - статистик и маг, а Джо Келлер - физик, на самом деле пытался применить законы физики к броску монеты, чтобы определить, какой результат будет основан на начальных условиях относительно того, или нет головы лицом вверх и точно, как сила удара пальца ударяется о монету. я думаю, что они, возможно, решили это. Но думать, что маг даже с магической подготовкой и статистическим знанием персидского диакониса мог бы подбросить монету и заставить ее всплыть каждый раз, нелепо. Я полагаю, что они обнаружили, что невозможно воспроизвести начальные условия, и я думаю, что теория хаоса применима. Небольшие возмущения в начальном состоянии оказывают большое влияние на полет монеты и делают результат непредсказуемым. Как статистик, я бы сказал, что даже если мир детерминированных стохастических моделей лучше предсказывает результаты, чем сложные детерминированные законы. Когда физика проста, детерминированные законы можно и нужно использовать. Например, гравитационный закон Ньютона хорошо работает при определении скорости, с которой объект падает на землю с высоты 10 футов над землей и используя уравнение d = gt. вы можете решить за время, необходимое для очень точного завершения падения, так как гравитационная постоянная g была определена с высокой степенью точности, и уравнение применяется почти точно. $^2$

— Майкл Р. Черник
источник

2

Майкл Черник, вас может заинтересовать эта статья о Diaconis.

— Cyan

Я бы заменил предложение «... люди моделируют его вероятностно, потому что легче приблизить происходящее таким образом ...» словом «... люди моделируют его вероятностно, потому что слишком сложно включить крошечные детали, которые большую часть времени не имеет значения, ... " Кроме того, вы придерживаетесь «практического» подхода к более философскому / концептуальному вопросу. Теория хаоса - это только проблема «на практике», потому что у нас нет сколь угодно точных представлений чисел. Другая проблема с детерминированными законами - они часто зависят от того, что мы не можем измерить.

— вероятностная

1

Спасибо циан. Я не видел эту конкретную статью, но я видел несколько других о Перси, и я хорошо знал его, как бывшего доцента, который преподавал мне теорию вероятностей и временные ряды, когда мы были в наших поздних двадцатых и ранних тридцатых годах 1974-1978 годов. , Кроме того, Перси заставил меня и Майкла Коэна (когда мы с Майклом Коэном оба были аспирантами) сотнями или тысячами разыгрывали бритые кости на ткани, чтобы подтвердить свою теорию относительно того, какой уклон будет для этого типа бритья.

— Майкл Р. Черник

1

Как и любой хороший экспериментатор, он не говорил нам, что их побрили, и разница в области была не такой большой, чтобы это было заметно на глаз. Конечно, если вы хотите обмануть игорное заведение бритыми кубиками, вы не сможете побриться так сильно, чтобы сделать его заметным, и в то же время не настолько малым, чтобы вам навсегда понадобился хороший выигрыш и избежать разорения игроков. Конечно, у нас были некоторые подозрения относительно эксперимента, потому что не было особого смысла пытаться подтвердить, что каждая сторона подошла очень близко к 1/6 времени.

— Майкл Р. Черник

Кроме того, делать эксперимент, чтобы показать, что вы можете смещать справедливую монету в пользу голов, далеко от возможности получить голову каждый раз. Статистики используются лотерейными комиссиями для проверки своих машин, чтобы убедиться в их справедливости.

— Майкл Р. Черник

4

$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

$H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Итак, у нас также есть:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

$f$ , хорошо аппроксимируется нормальным распределением.

— probabilityislogic
источник

1

Спасибо. Я полагаю, что ОП не слишком задумывался о соединении жирного предложения с CLT. Но могу ли я убедиться, что правильно понимаю? Вы говорите, что для больших N число комбинаций N вещей, взятых Nf за один раз, приблизительно равно нормальной плотности с параметром дисперсии Nf (1-F) и средним параметром N / 2? Кроме того, это просто асимптотическое математическое свойство без связи с вероятностью? Это так же удивительно, как увидеть версию центральной предельной теоремы Де Мойвра - Лапласа в действии с использованием устройства quincunx!

— Майкл Р. Черник

Спасибо, очень полезно думать о нормальном распределении без вероятности. Тем не менее, я не понимаю 1) как возникает этот первый предел и 2) в какой момент вы делаете расширение ряда Тейлора вокруг.

— Энди МакКензи

1

a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

Изменения выглядят лучше. Однако в первом уравнении отображения должен быть пропущен термин. :)

— кардинал

\log (N)

$\log(N)$

0

Цитата из книги Пинкера и идея детерминированного мира полностью игнорируют квантовую механику и принцип неопределенности Гейзенберга. Представьте себе, что вы помещаете небольшое количество радиоактивного вещества рядом с детектором и расставляете количества и расстояния таким образом, чтобы с вероятностью 50% обнаружить распад в течение заранее определенного интервала времени. Теперь подключите детектор к реле, которое будет делать что-то очень важное, если распад будет обнаружен, и используйте устройство один и только один раз.

Вы создали ситуацию, когда будущее непредсказуемо. (Этот пример взят из описанного кем-то, кто преподавал физику на втором или втором курсе в Массачусетском технологическом институте еще в середине 1960-х годов.)

— Эмиль Фридман
источник