Корреляция между X и XY

11

Если у меня есть две независимые случайные величины X и Y, какова корреляция между X и произведением XY? Если это неизвестно, мне было бы интересно узнать, по крайней мере, что происходит в конкретном случае, когда X и Y нормальны с нулевым средним, если это легче решить.

correlation

— Роберто
источник

4

Что мотивирует этот вопрос? Интересно, будет ли лучше, если мы также рассмотрим здесь что-то еще? Проводите ли вы исследование, в котором по какой-то причине вы создали переменную XY?

— gung - Восстановить Монику

13

Решение

Я считать, что правильное решение будет один , что экспрессы - если это возможно - корреляция с точки зрения отдельных свойств переменных и . Вычисление корреляции будет включать в себя вычисление ковариации одночленов в и . Это экономично, чтобы сделать это все сразу. Просто заметьте, что $X$ $Y$ $X$ $Y$

Когда и независимы, а и являются степенями, то и независимы; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
Ожидание продукта независимых переменных является продуктом их ожиданий.

Это даст формулы в терминах моментов и . $X$ $Y$

Это все, что нужно сделать.

подробности

Напишите и т. Д. Для моментов. Таким образом, для любых чисел для которых вычисления имеют смысл и дают конечные числа, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

Обратите внимание, что дисперсия любой случайной величины - это ее ковариация с самим собой, поэтому нам не нужно делать каких-либо специальных вычислений для дисперсий.

Теперь должно быть очевидно, как вычислять моменты с участием мономов любых степеней, любого конечного числа независимых случайных величин. В качестве приложения, примените этот результат к определению корреляции, которое представляет собой ковариацию, деленную на квадратные корни из дисперсий:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

Существуют различные алгебраические упрощения, которые вы можете выбрать, если хотите связать это с ожиданиями, дисперсиями и ковариациями исходных переменных, но выполнение их здесь не даст больше понимания.

— Whuber
источник

14

Используя закон полной ковариантности и независимости и , Используя закон полной дисперсии и снова независимость, Обратите внимание, как $X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$ может рассматриваться как константа в любом из указанных выше внутренних условных ожиданий, дисперсий или ковариаций.

Исходя из вышеуказанной ковариации и дисперсии, корреляция после некоторых алгебраических манипуляций может быть хорошо выражена в терминах двух коэффициентов вариации как

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

Проверка этого результата с помощью симуляции:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Ярле Туфто
источник

Хорошо, но я хотел бы отметить несколько вещей: 1. В третьей строке второго набора уравнений должна быть скобка, как в ? 2. Вы уверены, что человек, который задал вопрос, следует рассуждениям за различными шагами? Например, что так, потому что является данным. Я бы предложил минимальное объяснение некоторых шагов.

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$

— Антони Пареллада

1

Да, я добавил несколько пропущенных скобок и объяснение. Я должен признать, что предпочитаю ответ @whuber, хотя.

— Ярле Туфто

5

В конкретном случае, когда X и Y являются случайными переменными с нулевым средним, то потому что . Следовательно, $\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
источник

-2

Линейная корреляция между X и XY будет,

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = Суммирование ((X-среднее (X)) (XY-среднее (XY)) / n

n - размер выборки; var (X) = дисперсия X; var (XY) = дисперсия XY

— Сэм Гладио
источник

1

Вопрос о случайных переменных , а не о данных.

— whuber

Как мы можем определить, коррелированы ли 2 случайные величины или нет? Через данные только право. Поправьте меня если я ошибаюсь. Извиняюсь.

— Сэм Гладио

Корреляцию вычисляют теоретически, используя математические свойства случайных величин. Это почти то же самое, что, скажем, вычисление прочности конструкции моста с использованием принципов ньютоновской механики по сравнению со строительством мостов и их проверка: существуют разные роли для теории и данных, и их не следует путать друг с другом. ,

— whuber