Многомерный нормальный задний

Это очень простой вопрос, но я не могу найти вывод ни в Интернете, ни в книге. Я хотел бы увидеть, как один байесовский обновляет многомерное нормальное распределение. Например: представьте, что

$$\begin{array}{rcl} \mathbb{P}({\bf x}|{\bf μ},{\bf Σ}) & = & N({\bf \mu}, {\bf \Sigma}) \\ \mathbb{P}({\bf \mu}) &= & N({\bf \mu_0}, {\bf \Sigma_0})\,. \end{array}$$

Наблюдая за набором , я бы хотел вычислить . Я знаю, что ответ \ mathbb {P} ({\ bf \ mu | x_1 ... x_n}) = N ({\ bf \ mu_n}, {\ bf \ Sigma_n}), где Р ( ц | х 1 . . . х п ) Р ( ц | х 1 . . . х п )=Н( ц п , Σ п${\bf x_1 ... x_n}$$\mathbb{P}({\bf \mu | x_1 ... x_n})$$\mathbb{P}({\bf \mu | x_1 ... x_n}) = N({\bf \mu_n}, {\bf \Sigma_n})$

$$\begin{array}{rcl} \bf \mu_n &=& \displaystyle\Sigma_0 \left(\Sigma_0 + \frac{1}{n}\Sigma\right)^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\bf x_i}\right) + \frac{1}{n}\Sigma\left(\Sigma_0+\frac{1}{n}\Sigma\right)^{-1}\mu_0 \\ \bf \Sigma_n & =&\displaystyle \Sigma_0\left(\Sigma_0 + \frac{1}{n}\Sigma\right)^{-1}\frac{1}{n}\Sigma \end{array}$$

Я ищу вывод этого результата со всей промежуточной матричной алгеброй.

Любая помощь очень ценится.

С распределениями по нашим случайным векторам:

$\mathbf x_i | \mathbf \mu \sim N(\mu , \mathbf \Sigma)$

$\mathbf \mu \sim N(\mathbf \mu_0, \mathbf \Sigma_0)$

По правилу Байеса апостериорное распределение выглядит так:

$p(\mu| \{\mathbf x_i\}) \propto p(\mu) \prod_{i=1}^N p(\mathbf x_i | \mu)$

Так:

$\ln p(\mu| \{\mathbf x_i\}) = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N(\mathbf x_i - \mu)'\mathbf \Sigma^{-1}(\mathbf x_i - \mu) -\frac{1}{2}(\mu - \mu_0)'\mathbf \Sigma_0^{-1}(\mu - \mu_0) + const$

$= -\frac{1}{2} N \mu' \mathbf \Sigma^{-1} \mu + \sum_{i=1}^N \mu' \mathbf \Sigma^{-1} \mathbf x_i -\frac{1}{2} \mu' \mathbf \Sigma_0^{-1} \mu + \mu' \mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + const$

$= -\frac{1}{2} \mu' (N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1}) \mu + \mu' (\mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + \mathbf \Sigma^{-1} \sum_{i=1}^N \mathbf x_i) + const$

$= -\frac{1}{2}(\mu - (N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1})^{-1}(\mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + \mathbf \Sigma^{-1} \sum_{i=1}^N \mathbf x_i))' (N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1}) (\mu - (N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1})^{-1}(\mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + \mathbf \Sigma^{-1} \sum_{i=1}^N \mathbf x_i)) + const$

Какова логарифмическая плотность гауссианы:

$\mu| \{\mathbf x_i\} \sim N((N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1})^{-1}(\mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + \mathbf \Sigma^{-1} \sum_{i=1}^N \mathbf x_i), (N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1})^{-1})$

Используя тождество Вудбери в нашем выражении для ковариационной матрицы:

$(N \mathbf \Sigma^{-1} + \mathbf \Sigma_0^{-1})^{-1} = \mathbf \Sigma(\frac{1}{N} \mathbf \Sigma + \mathbf \Sigma_0)^{-1} \frac{1}{N} \mathbf \Sigma_0$

Который предоставляет ковариационную матрицу в форме, которую хотел ОП. Используя это выражение (и его симметрию) далее в выражении для среднего, мы имеем:

$\mathbf \Sigma(\frac{1}{N} \mathbf \Sigma + \mathbf \Sigma_0)^{-1} \frac{1}{N} \mathbf \Sigma_0 \mathbf \Sigma_0^{-1} \mu_0 + \frac{1}{N} \mathbf \Sigma_0(\frac{1}{N} \mathbf \Sigma + \mathbf \Sigma_0)^{-1} \mathbf \Sigma \mathbf \Sigma^{-1} \sum_{i=1}^N \mathbf x_i$

$= \mathbf \Sigma(\frac{1}{N} \mathbf \Sigma + \mathbf \Sigma_0)^{-1} \frac{1}{N} \mu_0 + \mathbf \Sigma_0(\frac{1}{N} \mathbf \Sigma + \mathbf \Sigma_0)^{-1} \sum_{i=1}^N (\frac{1}{N} \mathbf x_i)$

Какая форма требуется ОП для среднего.