Я не понимаю дисперсию бинома

Я чувствую себя действительно глупо, даже задавая такой простой вопрос, но здесь идет:

Если у меня есть случайная величина $X$ которая может принимать значения $0$ и $1$ , с $P(X=1) = p$ и $P(X=0) = 1-p$ , то, если я вытяну из нее $n$ выборок, я получу биномиальное распределение.

Среднее значение распределения

$\mu = np = E(X)$

Дисперсия распределения

$\sigma^2 = np(1-p)$

Вот где начинается моя проблема:

Дисперсия определяется как . Поскольку квадрат двух возможных результатов ничего не меняет ( и ), это означает, что , что означает $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Куда деваться ? Как вы, вероятно, можете сказать, я не очень хорош в статистике, поэтому, пожалуйста, не используйте сложную терминологию: s $n$

variance binomial

— Дейн
источник

Если

и они независимы, то

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

. Но еще более простой маршрут - это

так что

поэтому с независимостью

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Генри

Ответы:

Случайная величина принимающая значения и с вероятностями и , называется случайной величиной Бернулли с параметром . Эта случайная величина имеет $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Предположим, у вас есть случайная выборкаразмераизи определим новую случайную величину

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

, то распределение

называется биномиальным, параметры которого равны

. Среднее значение и дисперсия биномиальной случайной величины Y определяется как

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
источник

Как это отвечает на вопрос: «Куда деваются лишние н?»?

— говорит амеба, восстанови Монику

@amoeba Большое спасибо за ваш комментарий. Поскольку ОП не мог различить Бернулли и биномиальные случайные величины, я подумал напомнить ему необходимые определения и процесс получения требуемых выражений.

— LVRao

Я просто говорю, что ваш ответ улучшится (на мой взгляд), если вы явно укажете на ошибку в рассуждениях ОП. Ваш ответ выводит правильные формулы, но не показывает, где OP пошла не так.

— говорит амеба, восстанови Монику

@amoeba Правда. Давать какое-то направление, заставлять их исправлять себя, тоже иногда помогает.

— LVRao

Две ошибки в вашем процессе доказывания:

1: $X$ в первом абзаце имеет другое определение по сравнению с $X$ в остальной части статьи.

2: при условии, что $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ , Попробуй работать с $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
источник

Если тебе нравится, когда у тебя кровоточат глаза, я записал много своих заметок из аспирантуры. Эта конкретная ссылка показывает происхождение E (X) и E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Бенджамин