Коррелированные испытания Бернулли, многомерное распределение Бернулли?

Я упрощаю вопрос исследования, который у меня есть на работе. Представьте, что у меня 5 монет, и давайте назовем головы успешными. Это ОЧЕНЬ смещенные монеты с вероятностью успеха p = 0.1. Теперь, если монеты были независимыми, а затем получить вероятность , по крайней мере 1 голову или более очень просто, $1-(1-1/10)^5$ . В моем сценарии мои испытания Бернулли (броски монет) не являются независимыми. Единственная информация, к которой у меня есть доступ, - это вероятность успеха (каждая p = 0,1) и теоретические корреляции Пирсона среди двоичных переменных.

Есть ли способ рассчитать вероятность одного или нескольких успехов только по этой информации? Я стараюсь избегать подхода, основанного на моделировании, потому что эти теоретические результаты будут использоваться для определения точности моделирования. Я изучал многомерное распределение Бернулли, но не думаю, что смогу полностью определить его только с учетом корреляций и предельных вероятностей успеха. Мой друг рекомендовал построить гауссову связку с маргинальными маргиналами (используя пакет R copula), а затем использовать pMvdc()функцию на большой выборке, чтобы получить желаемую вероятность, но я не совсем уверен, как с этим справиться.

Нет, это невозможно, когда у вас есть три или более монет.

Дело двух монет

Давайте сначала посмотрим, почему это работает для двух монет, поскольку это дает некоторую интуицию о том, что ломается в случае большего количества монет.

Обозначим через и Y переменные Бернулли, соответствующие двум случаям: X ∼ B e r ( p ) , Y ∼ B e r ( q ) . Во- первых, напомним , что соотношение X и Y является$X$$Y$$X \sim \mathrm{Ber}(p)$$Y \sim \mathrm{Ber}(q)$$X$$Y$

$$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$$

и поскольку вы знаете маргиналы, вы знаете , E [ Y ] , V a r ( X ) и V a r ( Y ) , поэтому, зная соотношение, вы также знаете E [ X Y ] . Теперь X Y = 1 тогда и только тогда, когда оба X = 1 и Y = 1 , поэтому E [ X Y ] = P $E[X]$$E[Y]$$\mathrm{Var}(X)$$\mathrm{Var}(Y)$$E[XY]$$XY = 1$$X = 1$$Y = 1$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$$

Зная маргиналы, вы знаете, что и q = P ( X = 0 , Y = 1 ) + P ( X = 1). , Y = 1 ) . Поскольку мы только что обнаружили, что вы знаете P ( X = 1 , $p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$$q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ , это означает, что вы также знаете P ( X = 1 $P(X = 1, Y = 1)$ и P ( X = 0 , Y = 0 ) , но теперь все готово, так как вероятность, которую вы ищете$P(X = 1, Y = 0)$$P(X = 0, Y = 0)$

$$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$$

Теперь мне лично все это легче увидеть с помощью картинки. Пусть . Тогда мы можем представить различные вероятности в виде квадрата:$P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

Здесь мы увидели, что знание корреляций означает, что вы можете вывести , помеченный красным, и что, зная маргиналы, вы знаете сумму для каждого ребра (одно из которых обозначено синим прямоугольником).$P_{11}$

Корпус из трех монет

Это не будет так легко для трех монет; Интуитивно понятно, почему: зная маргиналы и корреляцию, вы знаете всего параметра, но совместное распределение имеет 2 3 = $6 = 3 + 3$$2^3 = 8$ результатов, но зная вероятности для из них, Вы можете выяснить последний; теперь 7 > 6 , поэтому кажется разумным, что можно составить два разных совместных распределения, маргинальные значения и корреляции которых одинаковы, и что можно переставлять вероятности, пока те, которые вы ищете, не будут отличаться.$7$$7 > 6$

Пусть , Y и Z будут тремя переменными, и пусть$X$$Y$$Z$

$$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$$

В этом случае картина сверху становится следующей:

Размеры были увеличены на одно: красная вершина превратилась в несколько цветных ребер, а край, покрытый синим прямоугольником, стал целым лицом. Здесь синяя плоскость указывает, что, зная маргинал, вы знаете сумму вероятностей внутри; для того, кто на картинке,

$$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$$

$\mathrm{corr}(X, Y)$$E[XY]$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$$

Таким образом, это накладывает некоторые ограничения на возможные совместные распределения, но теперь мы сократили упражнение до комбинаторного упражнения по размещению чисел в вершинах куба. Без дальнейших церемоний, давайте предоставим два совместных распределения, маргиналы и корреляции которых одинаковы:

Здесь разделите все числа на 100$100$получить распределение вероятностей. Чтобы увидеть, что они работают и имеют одинаковые маргиналы / корреляции, просто отметьте, что сумма вероятностей на каждом грани$1/2$ (это означает, что переменные $\mathrm{Ber}(1/2)$) и что суммы для вершин на цветных ребрах совпадают в обоих случаях (в данном конкретном случае все корреляции на самом деле одинаковы, но в общем случае это не обязательно).

Наконец, вероятность получения хотя бы одной головы, $1 - P_{000}$ и $1 - P_{000}'$, различны в двух случаях, что мы и хотели доказать.

Для меня создание этих примеров сводилось к тому, чтобы поместить числа в куб для создания одного примера, а затем просто изменить $P_{111}$ и позволяя изменениям распространяться.

Изменить: Это точка, где я понял, что вы на самом деле работали с фиксированными маргиналами, и что вы знаете, что каждая переменная была $\mathrm{Ber}(1/10)$, но если картинка выше имеет смысл, ее можно настроить, пока у вас не появятся нужные маргиналы.

Четыре или более монет

Наконец, когда у нас более трех монет, неудивительно, что мы можем составить неудачные примеры, поскольку теперь у нас есть еще большее расхождение между количеством параметров, необходимых для описания совместного распределения, и теми, которые нам предоставляют маргиналы и корреляции.

Конкретно, для любого числа монет больше трех вы можете просто рассмотреть примеры, первые три монеты которых ведут себя так же, как в двух приведенных выше примерах, и для которых результаты последних двух монет не зависят от всех других монет.

Коррелированные испытания Бернулли приводят к бета-биномиальному распределению подсчитанных результатов. Должна быть возможность параметризации этого распределения, чтобы дать определенное значение корреляции, а затем вычислить желаемую вероятность.