Я выкладываю здесь то, что было предложено в комментариях @jbowman.
Пусть константа . Пусть следует за и рассмотрим . потомa≥0YiExp(1)Zi=Yi−a
Pr(Zi≤zi∣Yi≥a)=Pr(Yi−a≤zi∣Yi≥a)
⟹Pr(Yi≤zi+a∣Yi≥a)=Pr(Yi≤zi+a,Yi≥a)1−Pr(Yi≤a)
⟹Pr(a≤Yi≤zi+a)1−Pr(Yi≤a)=1−e−zi−a−1+e−ae−a=1−e−zi
которая является функцией распределения .Exp(1)
Давайте опишем это: вероятность того, что rv попадет в определенный интервал (числитель в последней строке), учитывая, что он превысит нижнюю границу интервала (знаменатель), зависит только от длина интервала, а не то, где этот интервал находится на реальной линии. Exp(1)Это воплощение свойства « без памяти » экспоненциального распределения, здесь в более общем контексте, свободного от временных интерпретаций (и оно справедливо для экспоненциального распределения в целом)
Теперь, обусловливая мы заставляем быть неотрицательным, и, что особенно важно, полученный результат имеет . Таким образом, мы можем заявить следующее: {Yi≥a}Zi∀a∈R+
Если , то . Yi∼Exp(1)∀Q≥0:Zi=Yi−Q≥0 ⟹ Zi∼Exp(1)
Можем ли мы найти который может свободно принимать все неотрицательные действительные значения и для которого требуемое неравенство всегда выполняется (почти наверняка)? Если мы можем, тогда мы можем обойтись без аргумента обусловленности. Q≥0
И действительно, мы можем. Это статистика минимального порядка , , . Итак, мы получилиQ=Y(1)Pr(Yi≥Y(1))=1
Yi∼Exp(1)⟹Yi−Y(1)∼Exp(1)
Это означает, что
Pr(Yi−Y(1)≤yi−y(1))=Pr(Yi≤yi)
Таким образом, если вероятностная структура остается неизменной, если мы вычитаем статистику минимального порядка, из этого следует, что случайные величины и где независимы, также независимы, поскольку возможная связь между ними не влияет на вероятностную структуру.YiZi=Yi−Y(1)Zj=Yj−Y(1)Yi,YjY(1)
Тогда сумма содержит iid случайных величин (и ноль), и так∑ni=1(Yi−Y(1))n−1 Exp(1)
∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)