Если

Я наткнулся на доказательство одного из свойств модели ARCH, которое гласит, что если $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ , то $\{X_t\}$ является стационарным тогда и только тогда, когда $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ где модель ARCH:

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что можно записать как процесс AR (p), и если ∑ p i = 1 b i < 1 , то все корни характеристического полинома лежат вне единичной окружности и следовательно, { X 2 t } является стационарным. Затем он говорит, что, следовательно, { X t } является стационарным. Как это следует?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

Из данного раздела я понимаю, как вы можете видеть, что стационарность подразумевает стационарность X t, но на самом деле это только постоянная дисперсия X t$X^2_t$$X_t$ $X_t$ .

Авторы этого доказательства использовали стационарность чтобы завершить аргумент, который они начали ранее, рассматривая безусловные моменты X $X^2_t$$X_t$

Напомним, условия стационарности порядок:$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Условие 1 было доказано $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

Condition 3 was proved by $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

This is what leads to an assumption of stationarity of $X^2_{t}$ which you have mentioned uses its $AR(p)$ form. In brief:

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$