Интервалы прогнозирования и толерантности

У меня есть пара вопросов для прогнозирования и интервалов терпимости.

Давайте сначала договоримся об определении интервалов толерантности: нам дают уровень достоверности, скажем, 90%, процент населения, подлежащего отбору, скажем, 99%, и размер выборки, скажем, 20. Распределение вероятностей известно, скажем, нормально для удобства. Теперь, учитывая вышеприведенные три числа (90%, 99% и 20) и тот факт, что базовое распределение является нормальным, мы можем вычислить число допусков . Для выборки со средним значением и стандартным отклонением интервал допуска составляет . Если этот интервал допуска охватывает 99% населения, то выборка называется успешной( х 1 , х 2 , ... , х 20 ) ˉ х с ˉ х ± к с ( х 1 , х 2 , ... , х 20$k$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$\bar{x}$$s$$\bar{x}\pm ks$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$и требование состоит в том, чтобы 90% образцов были успешными .

Комментарий: 90% - это априорная вероятность успеха образца. 99% - это условная вероятность того, что будущее наблюдение будет в интервале допуска, учитывая, что выборка является успешной.

Мои вопросы: можем ли мы видеть интервалы предсказания как интервалы терпимости? Просматривая в Интернете, я получил противоречивые ответы на этот вопрос, не говоря уже о том, что никто точно не определил интервалы прогнозирования. Итак, если у вас есть точное определение интервала прогнозирования (или ссылка), я был бы признателен.

Я понял, что интервал прогнозирования 99%, например, не охватывает 99% всех будущих значений для всех выборок. Это будет то же самое, что и интервал допуска, который охватывает 99% населения с вероятностью 100%.

В определениях, которые я нашел для 90% -ного интервала прогнозирования, 90% - это априорная вероятность для данной выборки, скажем, (размер фиксирован) и одно будущее наблюдение , которое будет в интервале прогнозирования. Таким образом, кажется, что и выборка, и будущая стоимость даются одновременно, в отличие от интервала допуска, где предоставляется выборка, и с определенной вероятностью это успех , и при условии, что выборка успеху $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$y$$y$определяется будущее значение и с определенной вероятностью попадает в интервал допуска. Я не уверен, является ли приведенное выше определение интервала предсказания правильным или нет, но оно кажется нелогичным (по крайней мере).

Любая помощь?

Ваши определения кажутся правильными.

Книга консультируйтесь этих вопросах Интервалы статистический (Gerald Hahn & William Meeker), 1991. Я цитирую:

Интервал прогнозирования для одного будущего наблюдения - это интервал, который с заданной степенью достоверности будет содержать следующее (или другое заранее заданное) случайно выбранное наблюдение из популяции.

[A] интервал толерантности - это интервал, который, как можно утверждать, содержит, по меньшей мере, определенную долю p популяции с заданной степенью достоверности .$100(1-\alpha)\%$

Вот пересказ в стандартной математической терминологии. Пусть данные считаются реализацией независимых случайных величин X = ( X 1 , … , X n ) с общей интегральной функцией распределения F θ . ( θ является напоминанием о том, что F может быть неизвестным, но предполагается, что он лежит в данном наборе распределений F θ | θ ∈ Θ ). Пусть Х $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$$F_\theta$$\theta$$F$${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$$X_0$быть другой случайной величиной с тем же распределением и независимым от первых n переменных.$F_\theta$$n$

1. Интервал предсказания (для одного наблюдения в будущем), определяется конечными точками , имеет определяющее свойство , что$[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$$

   В частности, относится к распределению n + 1 переменных ( X 0 , X 1 , … , X n ), определяемому по закону F θ . Обратите внимание на отсутствие каких-либо условных вероятностей: это полная совместная вероятность. Также обратите внимание на отсутствие какой-либо ссылки на временную последовательность: очень хорошо может наблюдаться X 0 во времени перед другими значениями. Это не имеет значения.${\Pr}_\theta$$n+1$$(X_0, X_1, \ldots, X_n)$$F_\theta$$X_0$

   Я не уверен, какой аспект (ы) этого может быть "нелогичным". Если мы планируем выбрать статистическую процедуру в качестве действия, которое необходимо выполнить перед сбором данных, то это естественная и разумная формулировка запланированного двухэтапного процесса, потому что оба данных ( ) и «будущее значение» X 0 должно быть смоделировано как случайное.$X_i, i=1,\ldots,n$$X_0$

2. Интервал допуска, определяется конечными точками , имеет определяющее свойство , что$(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$$

   Обратите внимание на отсутствие какой-либо ссылки на : это не играет никакой роли.$X_0$

Когда является множеством нормальных распределений, существуют интервалы прогнозирования в форме$\{F_\theta\}$

( - среднее значение по выборке, а s - стандартное отклонение по выборке). Значения функции k , которые табулируют Hahn & Meeker, не зависят от данных x . Существуют и другие процедуры интервалов прогнозирования, даже в нормальном случае: они не единственные.$\bar{x}$$s$$k$$\mathbf{x}$

Точно так же существуют интервалы допуска формы

Существуют и другие процедуры интервала допуска : они не единственные.

Отмечая сходство между этими парами формул, мы можем решить уравнение

$\alpha'$$p$$\alpha$$\alpha'$$p$

$K(\alpha,p)$