Нормально распределенные ошибки и центральная предельная теорема

Во Вводной эконометрике Вулдриджа есть цитата:

Аргумент, оправдывающий нормальное распределение ошибок, обычно выполняется примерно так: поскольку является суммой многих ненаблюдаемых факторов, влияющих на , мы можем вызвать центральную предельную теорему, чтобы заключить, что имеет приблизительное нормальное распределение. $u$ $y$ $u$

Эта цитата относится к одному из предположений линейной модели, а именно:

$u \sim N(μ, σ^2)$

где $u$ - погрешность в популяционной модели.

Теперь, насколько мне известно, Центральная предельная теорема утверждает, что распределение

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(где $\overline{Y_i}$ - средние значения случайных выборок, взятых из любой популяции со средним $μ$ и дисперсией $σ^2$ )

приближается к стандартной нормальной переменной как $n \rightarrow \infty$ .

Вопрос:

Помогите мне понять, как асимптотическая нормальность $Z_i$ подразумевает $u \sim N(μ, σ^2)$

— Гусь
источник

Это может быть лучше оценено, если выразить результат CLT в виде сумм iid случайных величин. У нас есть

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

Умножьте частное на и используйте тот факт, что чтобы получить $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Теперь добавьте к LHS и используйте тот факт, что чтобы получить $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Наконец, умножьте на и используйте приведенные выше два результата, чтобы увидеть, что $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

И какое это имеет отношение к заявлению Вулдриджа? Хорошо, если ошибка является суммой многих случайных величин iid, то она будет приблизительно нормально распределена, как только что видно. Но здесь есть проблема, а именно, что ненаблюдаемые факторы не обязательно будут одинаково распределены, и они могут даже не быть независимыми!

Тем не менее, CLT был успешно распространен на независимые неидентично распределенные случайные величины и даже случаи слабой зависимости при некоторых дополнительных условиях регулярности. По сути, это условия, которые гарантируют, что ни один член в сумме не оказывает непропорционального влияния на асимптотическое распределение, см. Также страницу википедии на CLT . Вам не нужно знать эти результаты, конечно; Цель Вулдриджа - просто обеспечить интуицию.

Надеюсь это поможет.

— JohnK
источник

Я хотел бы добавить (так как автор изучает эконометрику), что в его области исследования много случайных величин (по крайней мере, те, которые используются для моделирования) не имеют первых моментов, таких как распределение Коши. Таким образом, CLT - это не тот, на кого вы можете положиться в этой области.

— Герман Демидов