В учебнике, графические моделях, экспоненциальная семье и вариационные умозаключениях , М. Иордане и М. Уэйнрайт обсуждается связь между экспоненциальными семействами и марковскими случайными полей (неориентированные графические моделями).
Я пытаюсь лучше понять отношения между ними с помощью следующих вопросов:
- Все ли MRF являются членами Экспоненциальных семей?
- Могут ли все члены из Экспоненциальных семей быть представлены как MRF?
- Если MRF экспоненциальные семейства, то каковы хорошие примеры распределений одного типа, не включенных в другой ?
Из того, что я понимаю в их учебнике (глава 3), Джордан и Уэйнрайт приводят следующий аргумент:
Скажем , у нас есть аа скалярную случайную величину X , которая следует некоторое распределение , и сделать независимые одинаково распределенные наблюдения , и мы хотим определить .n X 1 , … X n p
Мы вычисляем эмпирические ожидания определенных функций
для всех
где каждый в некотором наборе индексирует функциюI ϕ α : X → R
Тогда, если мы заставим следующие два набора величин быть последовательными, то есть, чтобы соответствовать (чтобы идентифицировать ):
Ожидания достаточной статистики распределенияϕ p
Ожидания при эмпирическом распределении
мы получаем недоопределенную проблему в том смысле, что существует много распределений , которые согласуются с наблюдениями. Поэтому нам нужен принцип выбора среди них (для идентификации ).р
Если мы используем принцип максимальной энтропии для устранения этой неопределенности, мы можем получить один :
Е р [ ( ф & alpha ; ( Х ) ] = ц & alpha ; & alpha ; ∈ Я зависимости от для всех
где этот принимает форму exp где представляет параметризацию распределения в экспоненциальной форме семейства.р & thetas ; ( х ) & alpha ; Е & alpha ; ∈ I & thetas ; & alpha ; ф & alpha ; ( х ) , & thetas ; ∈ R d
Другими словами, если мы
- Приведите ожидания распределений в соответствие с ожиданиями при эмпирическом распределении
- Используйте принцип максимальной энтропии, чтобы избавиться от неопределенности
Мы получаем распределение экспоненциального семейства.
Однако это больше похоже на аргумент для введения экспоненциальных семейств, и (насколько я понимаю) не описывает отношения между MRF и exp. семьи. Я что-то пропустил?