Условия ошибки скользящей средней модели

17

Это основной вопрос о моделях Box-Jenkins MA. Как я понимаю, модель MA - это, в основном, линейная регрессия значений временного ряда относительно предыдущих слагаемых ошибок . То есть наблюдение сначала регрессирует к своим предыдущим значениям а затем одно или несколько значений используются в качестве терминов ошибки для MA модель. $Y$ $e_t,..., e_{t-n}$ $Y$ $Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$ $Y - \hat{Y}$

Но как вычисляются члены ошибки в модели ARIMA (0, 0, 2)? Если модель MA используется без авторегрессионной детали и, следовательно, без расчетного значения, как я могу иметь ошибку?

— Роберт Кубрик
источник

1

Нет, я думаю, что вы путаете определение модели MA (n), где регрессия происходит только в терминах с ее оценкой, где оцениваются по данным ,

e_{t - i}

$e_{t-i}$

e_{t - i}

$e_{t-i}$

— Сиань

1

Основная проблема в вашем вопросе состоит в том, что вы говорите, что модель MA - это в основном линейная регрессия. Это просто не соответствует действительности, поскольку мы не соблюдаем условия ошибки.

— mpiktas

Я думаю , что термин ошибка является на самом деле , где является или просто . Вот почему оценка параметра модели MA получена из повторяющегося шаблона в функции частичной автокорреляции , то есть поведения остатков. Вместо этого оценка параметра AR основана на повторяющейся схеме acf (Y).

Y_{t} - \hat{Y_{t}}

$Y_t - \hat{Y_t}$

\hat{Y}

$\hat{Y}$

E (Y | Y_{t, . . ., t - n})

$E(Y|Y_{t,...,t-n})$

Y_{t} - Y_{t - 1}

$Y_t - Y_{t-1}$

Y

$Y$

— Роберт Кубрик

20

Оценка модели MA:

Давайте предположим ряд с 100 временными точками, и скажем, что это характеризуется моделью MA (1) без перехвата. Тогда модель задается

y_{t} = ε_{t} - θ ε_{t - 1}, t = 1, 2, \dots, 100 (1)

$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$

Термин ошибки здесь не соблюдается. Таким образом, чтобы получить это, Box et al. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (3-е издание) , стр. 228 , позволяют предположить, что термин ошибки вычисляется рекурсивно

ε_{t} = y_{t} + θ ε_{t - 1}

$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$

Таким образом, термин ошибки для : Теперь мы не можем вычислить это, не зная значения . Таким образом, чтобы получить это, нам нужно вычислить начальную или предварительную оценку модели, см. Box et al. упомянутой книги, раздел 6.3.2 стр. 202 утверждают, что, $t=1$

ε_{1} = y_{1} + θ ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$

θ

$\theta$

Было показано, что первые автокорреляций процесса MA ( ) отличны от нуля и могут быть записаны в терминах параметров модели как Вышеприведенное выражение для в терминах предоставляет уравнений в неизвестных. Предварительные оценки s могут быть получены путем подстановки оценок для в вышеприведенном уравнении $q$ $q$
$ρ_{k} = \frac{- θ_{k} + θ_{1} θ_{k + 1} + θ_{2} θ_{k + 2} + \dots + θ_{q - k} θ_{q}}{1 + θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2} + \dots + θ_{q}^{2}} k = 1, 2, \dots, q$ $\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$ $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$ $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$ $q$ $q$ $\theta$ $r_k$ $\rho_k$

Обратите внимание, что является предполагаемой автокорреляцией. Более подробное обсуждение приведено в разделе 6.3 «Начальные оценки параметров» . Теперь предположим, что мы получаем начальную оценку . Тогда Теперь другая проблема - у нас нет значения для потому что начинается с 1, и поэтому мы не можем вычислить . К счастью, есть два способа получить это, $r_k$ $\theta=0.5$

ε_{1} = y_{1} + 0.5 ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$

ε_{0}

$\varepsilon_0$

t

$t$

ε_{1}

$\varepsilon_1$

Условное правдоподобие
Безусловная вероятность

Согласно Box и соавт. В разделе 7.1.3 стр. 227 значения могут быть заменены на ноль в качестве приближения, если является умеренным или большим, этот метод является условным правдоподобием. В противном случае используется безусловное правдоподобие, при котором значение получают путем обратного прогнозирования, Box et al. рекомендую этот метод. Подробнее об обратном прогнозировании читайте в разделе 7.1.4 на стр. 231 . $\varepsilon_0$ $n$ $\varepsilon_0$

После получения начальных оценок и значения , наконец, мы можем приступить к рекурсивному вычислению члена ошибки. Затем последним этапом является оценка параметра модели , помните, что это уже не предварительная оценка. $\varepsilon_0$ $(1)$

При оценке параметра я использую процедуру нелинейного оценивания, в частности алгоритм Левенберга-Марквардта, поскольку модели МА нелинейны по своему параметру. $\theta$

В целом, я очень рекомендую вам прочитать Box et al. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (3-е издание) .

— Аль-Ахмадгайд Асаад
источник

Можете ли вы объяснить, что такое ?

r_{k}

$r_k$

— Пиюш Дивьянакар

4

Гауссова модель MA (q) определяется (не только Боксом и Дженкинсом!) Как поэтому модель MA (q) является «чистой» моделью ошибок, степень определяющая, насколько далеко корреляция возвращается.

Y_{t} = - \sum_{i = 1}^{q} ϑ_{i} e_{t - i} + σ e_{t}, e_{t} \overset{iid}{\sim} N (0, 1)

$Y_t = -\sum_{i=1}^q \vartheta_i e_{t-i} + \sigma e_t,\quad e_t\stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$

q

$q$

— Сиань
источник

1

e_{t}

$e_t$

e_{t}

$e_t$

q

$q$

1

Почему в вашей формуле есть минус? Обычно минус для моделей AR. Математически это не проблема, мне просто любопытно, так как я никогда не видел минусов в моделях MA.

— mpiktas

3

e_{t}

$e_t$

1

Y

$Y$

E (Y)

$E(Y)$

1

$Y$ $Y_{t−1},...,Y_{t−n}$ $Y−\hat{Y}$ $Y$ $e_{t-1}$ $e_{t−2}$ $e_t$ $\theta_1$ $e_{t-1}$ $\theta_2$ $e_{t-2}$ $e_t$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— IrishStat
источник

Y

$Y$

Y

$Y$

1

2 предиктора - это лаги ошибок. Так как они не известны априори, так как мы не знаем терминов ошибки до того, как мы начнем, именно поэтому это должно рассматриваться с помощью нелинейной оценки. У вас возникает путаница в том, что модель, которая является конечной в прошлом (т.е. AR МОДЕЛЬ) потенциально бесконечна в ошибках, И модель, которая конечна в ошибках (т.е. МОДЕЛЬ МА), потенциально бесконечна в прошлом Y. Причина, по которой выбирается МОДЕЛЬ AR, а не МОДЕЛЬ МА, предназначена для экономии. Иногда мы строим модель ARMA, которая сочетает в себе историю Y и историю ошибок.

— IrishStat

1

Y

$Y$

e_{t - n}

$e_{t-n}$

1

Смотрите мой пост здесь для объяснения того, как понимать термины нарушения в серии МА.

Вам нужны разные методы оценки, чтобы оценить их. Это связано с тем, что вы не можете сначала получить остатки линейной регрессии, а затем включить в качестве объясняющих переменных отстающие остаточные значения, поскольку процесс MA использует остатки текущей регрессии. В вашем примере вы создаете два уравнения регрессии и используете невязки из одного в другое. Это не то, чем является процесс МА. Это не может быть оценено с помощью OLS.

— JoeDanger
источник