Генерация случайных чисел из «наклонного равномерного распределения» из математической теории

Для каких-то целей мне нужно генерировать случайные числа (данные) из распределения "наклонной формы". «Наклон» этого распределения может изменяться в некотором разумном интервале, и тогда мое распределение должно измениться с равномерного на треугольное в зависимости от наклона. Вот мой вывод:

Давайте сделаем это просто и сгенерируем данные от до (синий, красный - равномерное распределение). Чтобы получить функцию плотности вероятности синей линии, мне нужно просто уравнение этой линии. Таким образом:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

и с тех пор (фото):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

У нас есть это:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Поскольку - это PDF, CDF равен:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Теперь давайте сделаем генератор данных. Идея состоит в том, что если я исправлю , случайные числа могут быть вычислены, если я получу числа из из равномерного распределения, как описано здесь . Таким образом, если мне нужно 100 случайных чисел из моего распределения с фиксированным , то для любого из равномерного распределения существует из «наклонного распределения», и можно вычислить как:$\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

Из этой теории я сделал код на Python, который выглядит следующим образом:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Но сгенерированные числа rand_numbочень близки к нулю или к B (который я установил как 25). Разницы нет, когда я генерирую 100 чисел, все они близки к 25 или все близки к нулю. В один заход:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Так что в моем коде должно быть что-то не так. Может ли кто-нибудь помочь мне с моим выводом или кодом? Я без ума от этого сейчас, я не вижу никакой ошибки. Я полагаю, код R даст мне аналогичные результаты.

Ваш вывод в порядке. Обратите внимание, что для получения положительной плотности , вы должны ограничить В вашем коде поэтому вы должны взять между , вот где ваш код не работает.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

Вы можете (и должны) избегать использования квадратичного решателя, а затем выбрать корни между 0 и . Квадратичное полиномиальное уравнение в должно быть решено, имеет вид с По построению и ; также увеличивается на .$B$$x$

$$F(x) = t$$ $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

Из этого легко видеть, что если , то часть параболы, в которой мы заинтересованы, является частью правой стороны параболы, а корень, который нужно сохранить, является самым высоким из двух корней, что is Наоборот, если , парабола перевернута, и мы заинтересованы в ее левой часть. Корень, который нужно сохранить - самый низкий. Принимая во внимание знак кажется, что это тот же корень (т. у которого ), чем в первом случае.$\tan \phi > 0$

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

Вот немного кода R

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

И с :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))