Доказательство того, что F-статистика следует F-распределению

В свете этого вопроса: Доказательство того, что коэффициенты в модели OLS следуют t-распределению с (nk) степенями свободы

Я хотел бы понять, почему

F = \frac{(TSS - RSS) / (p - 1)}{RSS / (n - p)},

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)},$

где - число параметров модели, а - число наблюдений, а - полная дисперсия, - остаточная дисперсия, следует распределению . $p$ $n$ $TSS$ $RSS$ $F_{p-1,n-p}$

Я должен признать, что я даже не пытался доказать это, поскольку я не знал бы, с чего начать.

— user1627466
источник

Кристоф Ханк и Фрэнсис уже дали очень хороший ответ. Если у вас все еще есть трудности с пониманием доказательства критерия f для линейной регрессии, попробуйте оформить заказ teamdable.github.io/techblog/… . Я написал сообщение в блоге о доказательстве ftest для линейной регрессии. Это написано на корейском языке, но это не может быть проблемой, потому что почти все это математическая формула. Я надеюсь, что это поможет, если у вас все еще есть трудности в понимании доказательства f-теста для линейной регрессии.

— Taeho Oh

Хотя эта ссылка может дать ответ на вопрос, лучше включить сюда основные части ответа и предоставить ссылку для справки. Ответы, содержащие только ссылки, могут стать недействительными, если связанная страница изменится. - Из Обзора

— mkt - Восстановить Монику

Ответы:

Давайте покажем результат для общего случая, для которого ваша формула для статистики теста является частным случаем. В общем, нам нужно проверить, что статистика, согласно характеристике распределения $F$ , может быть записана как отношение независимых rvs, деленное на их степени свободы. $\chi^2$

Пусть с и известны, неслучайно и имеет полный ранг столбца . Это представляет линейных ограничений для (в отличие от обозначения OP) регрессоров, включая постоянный член. Так, в примере @ user1627466, соответствует ограничениям установки всех коэффициентов наклона в ноль. $H_{0}:R^\prime\beta=r$ $R$ $r$ $R:k\times q$ $q$ $q$ $k$ $p-1$ $q=k-1$

Ввиду , мы имеем чтобы (с являясь «квадратным корнем матрицы» из , например, через Разложение Холецкого) как $Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)=\sigma^2(X'X)^{-1}$

\begin{array}{rcl} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) \sim N (0, σ^{2} R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R), \end{array}

$\begin{eqnarray*} R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N\left(0,\sigma^{2}R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\right), \end{eqnarray*}$

B^{- 1 / 2} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1 / 2}

$B^{-1/2}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1/2}$

B^{- 1} = {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1}

$B^{-1}=\{R^\prime(X^\prime X)^{-1} R\}^{-1}$

\begin{array}{rcl} n := \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) \sim N (0, I_{q}), \end{array}

$\begin{eqnarray*} n:=\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)\sim N(0,I_{q}), \end{eqnarray*}$

\begin{array}{rcl} V a r (n) & = & \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} R^{'} V a r ({\hat{β}}_{ols}) R \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} \\ = & \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} σ^{2} B \frac{B^{- 1 / 2}}{σ} = I \end{array}

$\begin{eqnarray*} Var(n)&=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}R^\prime Var\bigl(\hat{\beta}_{\text{ols}}\bigr)R\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\\ &=&\frac{B^{-1/2}}{\sigma}\sigma^2B\frac{B^{-1/2}}{\sigma}=I \end{eqnarray*}$ где вторая строка использует дисперсию OLSE.

Это, как показано в ответе, на который вы ссылаетесь (см. Также здесь ), не зависит от где - это обычная несмещенная оценка дисперсии ошибок, с является„остаточным производителем матрица“из регресса на .

d := (n - k) \frac{{\hat{σ}}^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - k}^{2},

$d:=(n-k)\frac{\hat{\sigma}^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{n-k},$

{\hat{σ}}^{2} = y^{'} M_{X} y / (n - k)

$\hat{\sigma}^{2}=y'M_Xy/(n-k)$

M_{X} = I - X (X^{'} X)^{- 1} X^{'}

$M_{X}=I-X(X'X)^{-1}X'$

X

$X$

Таким образом, поскольку является квадратичной формой в нормалях, В частности, при это сводится к статистике $n'n$

\begin{array}{rcl} \frac{\overset{\sim χ_{q}^{2}}{\overset{⏞}{n^{'} n}} / q}{d / (n - k)} = \frac{({\hat{β}}_{ols} - β)^{'} R {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1} R^{'} ({\hat{β}}_{ols} - β) / q}{{\hat{σ}}^{2}} \sim F_{q, n - k} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{\overbrace{n^\prime n}^{\sim\chi^{2}_{q}}/q}{d/(n-k)}=\frac{(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)^\prime R\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}R^\prime(\hat{\beta}_{\text{ols}}-\beta)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray*}$

H_{0} : R^{'} β = r

$H_{0}:R^\prime\beta=r$

\begin{array}{rcl} F = \frac{(R^{'} {\hat{β}}_{ols} - r)^{'} {R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R}^{- 1} (R^{'} {\hat{β}}_{ols} - r) / q}{{\hat{σ}}^{2}} \sim F_{q, n - k} . \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\frac{(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)^\prime\left\{R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\right\}^{-1}(R^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}-r)/q}{\hat{\sigma}^{2}}\sim F_{q,n-k}. \end{eqnarray}$

Для иллюстрации рассмотрим частный случай , , , и . Затем квадрат евклидова расстояния OLS оценка от начала координат, стандартизированная по количеству элементов - подчеркивая, что, поскольку являются квадратами стандартных нормалей и, следовательно, , можно увидеть распределение как "среднее . $R^\prime=I$ $r=0$ $q=2$ $\hat{\sigma}^{2}=1$ $X^\prime X=I$

\begin{array}{rcl} F = {\hat{β}}_{ols}^{'} {\hat{β}}_{ols} / 2 = \frac{{\hat{β}}_{ols, 1}^{2} + {\hat{β}}_{ols, 2}^{2}}{2}, \end{array}

$\begin{eqnarray} F=\hat{\beta}_{\text{ols}}^\prime\hat{\beta}_{\text{ols}}/2=\frac{\hat{\beta}_{\text{ols},1}^2+\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2}{2}, \end{eqnarray}$

{\hat{β}}_{ols, 2}^{2}

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}^2$

χ_{1}^{2}

$\chi^2_1$

F

$F$

χ^{2}

$\chi^2$

В случае, если вы предпочитаете небольшую имитацию (которая, конечно, не является доказательством!), В которой проверяется нулевое значение, то, что ни один из регрессоров не имеет значения - что они действительно не имеют, так что мы моделируем нулевое распределение. $k$

Мы видим очень хорошее согласие между теоретической плотностью и гистограммой статистики теста Монте-Карло.

library(lmtest)
n <- 100
reps <- 20000
sloperegs <- 5 # number of slope regressors, q or k-1 (minus the constant) in the above notation
critical.value <- qf(p = .95, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1) 
# for the null that none of the slope regrssors matter

Fstat <- rep(NA,reps)
for (i in 1:reps){
  y <- rnorm(n)
  X <- matrix(rnorm(n*sloperegs), ncol=sloperegs)
  reg <- lm(y~X)
  Fstat[i] <- waldtest(reg, test="F")$F[2] 
}

mean(Fstat>critical.value) # very close to 0.05

hist(Fstat, breaks = 60, col="lightblue", freq = F, xlim=c(0,4))
x <- seq(0,6,by=.1)
lines(x, df(x, df1 = sloperegs, df2 = n-sloperegs-1), lwd=2, col="purple")

Чтобы увидеть, что версии тестовой статистики в вопросе и ответе действительно эквивалентны, обратите внимание, что значение NULL соответствует ограничениям и . $R'=[0\;\;I]$ $r=0$

Пусть будет разделен в соответствии с тем, что коэффициенты ограничены нулем при нулевом значении (в вашем случае все, кроме константы, но последующий вывод является общим). Кроме того, пусть - соответствующая оценка OLS. $X=[X_1\;\;X_2]$ $\hat{\beta}_{\text{ols}}=(\hat{\beta}_{\text{ols},1}^\prime,\hat{\beta}_{\text{ols},2}')'$

Тогда и нижний правый блок Теперь используйте результаты для секционированных инверсий, чтобы получить где .

R^{'} {\hat{β}}_{ols} = {\hat{β}}_{ols, 2}

$R'\hat{\beta}_{\text{ols}}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}$

R^{'} (X^{'} X)^{- 1} R \equiv \tilde{D},

$R^\prime(X^\prime X)^{-1}R\equiv\tilde D,$

\begin{aligned} (X^{T} X)^{- 1} & = {(\begin{array}{cc} X_{1}^{'} X_{1} & X_{1}^{'} X_{2} \\ X_{2}^{'} X_{1} & X_{2}^{'} X_{2} \end{array})}^{- 1} \\ \equiv (\begin{array}{cc} \tilde{A} & \tilde{B} \\ \tilde{C} & \tilde{D} \end{array}) \end{aligned}

$\begin{align*} (X^TX)^{-1}&=\left( \begin{array} {c,c} X_1'X_1&X_1'X_2 \\ X_2'X_1&X_2'X_2\end{array} \right)^{-1}\\&\equiv\left( \begin{array} {c,c} \tilde A&\tilde B \\ \tilde C&\tilde D\end{array} \right) \end{align*}$

\tilde{D} = (X_{2}^{'} X_{2} - X_{2}^{'} X_{1} (X_{1}^{'} X_{1})^{- 1} X_{1}^{'} X_{2})^{- 1} = (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1}

$\tilde D=(X_2'X_2-X_2'X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'X_2)^{-1}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}$

M_{X_{1}} = I - X_{1} (X_{1}^{'} X_{1})^{- 1} X_{1}^{'}

$M_{X_1}=I-X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1'$

Таким образом, числитель статистики становится (без деления на ) Далее, напомним, что по теореме Фриша-Во-Ловелла мы можем написать чтобы $F$ $q$

F_{n u m} = {\hat{β}}_{ols, 2}^{'} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2}) {\hat{β}}_{ols, 2}

$F_{num}=\hat{\beta}_{\text{ols},2}'(X_2'M_{X_1}X_2)\hat{\beta}_{\text{ols},2}$

{\hat{β}}_{ols, 2} = (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y

$\hat{\beta}_{\text{ols},2}=(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y$

\begin{aligned} F_{n u m} & = y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2}) (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \\ = y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \end{aligned}

$\begin{align*} F_{num}&=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}(X_2'M_{X_1}X_2)(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y\\ &=y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{align*}$

Осталось показать, что этот числитель идентичен , разнице в неограниченной и ограниченной сумме квадратов невязок. $\text{USSR}-\text{RSSR}$

Здесь - это остаточная сумма квадратов от регрессии на , т.е. с наложенным . В вашем особом случае это просто , остатки регрессии по константе.

RSSR = y^{'} M_{X_{1}} y

$\text{RSSR}=y'M_{X_1}y$

y

$y$

X_{1}

$X_1$

H_{0}

$H_0$

T S S = \sum_{i} (y_{i} - \bar{y})^{2}

$TSS=\sum_i(y_i-\bar y)^2$

Снова используя FWL (который также показывает, что остатки двух подходов идентичны), мы можем написать (SSR в вашей записи) в качестве SSR регрессии $\text{USSR}$

M_{X_{1}} y on M_{X_{1}} X_{2}

$M_{X_1}y\quad\text{on}\quad M_{X_1}X_2$

То есть

\begin{array}{rcl} USSR & = & y^{'} M_{X_{1}}^{'} M_{M_{X_{1}} X_{2}} M_{X_{1}} y \\ = & y^{'} M_{X_{1}}^{'} (I - P_{M_{X_{1}} X_{2}}) M_{X_{1}} y \\ = & y^{'} M_{X_{1}} y - y^{'} M_{X_{1}} M_{X_{1}} X_{2} ((M_{X_{1}} X_{2})^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} (M_{X_{1}} X_{2})^{'} M_{X_{1}} y \\ = & y^{'} M_{X_{1}} y - y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{USSR}&=&y'M_{X_1}'M_{M_{X_1}X_2}M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}'(I-P_{M_{X_1}X_2})M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}M_{X_1}X_2((M_{X_1}X_2)'M_{X_1}X_2)^{-1}(M_{X_1}X_2)'M_{X_1}y\\ &=&y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

Таким образом,

\begin{array}{rcl} RSSR - USSR & = & y^{'} M_{X_{1}} y - (y^{'} M_{X_{1}} y - y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y) \\ = & y^{'} M_{X_{1}} X_{2} (X_{2}^{'} M_{X_{1}} X_{2})^{- 1} X_{2}^{'} M_{X_{1}} y \end{array}

$\begin{eqnarray*} \text{RSSR}-\text{USSR}&=&y'M_{X_1}y-(y'M_{X_1}y-y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y)\\ &=&y'M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}y \end{eqnarray*}$

— Кристоф Ханк
источник

Благодарю. Я не знаю, считается ли это рукой в этот момент, но как перейти от суммы квадратов бета к выражению, содержащему сумму квадратов?

— user1627466

@ user1627466, я добавил вывод эквивалентности двух формул.

— Кристоф Ханк

@ChristophHanck предоставил очень исчерпывающий ответ, здесь я добавлю набросок доказательства для упомянутого особого случая OP. Надеюсь, это также легче следовать для начинающих.

Случайная переменная если где и независимы. Таким образом, чтобы показать, что статистика имеет распределение, мы можем также показать, что и для некоторой константы , и что они независимы. $Y\sim F_{d_1,d_2}$

Y = \frac{X_{1} / d_{1}}{X_{2} / d_{2}},

$Y=\frac{X_1/d_1}{X_2/d_2},$

X_{1} \sim χ_{d_{1}}^{2}

$X_1\sim\chi^2_{d_1}$

X_{2} \sim χ_{d_{2}}^{2}

$X_2\sim\chi^2_{d_2}$

F

$F$

F

$F$

c ESS \sim χ_{p - 1}^{2}

$c\text{ESS}\sim\chi^2_{p-1}$

c RSS \sim χ_{n - p}^{2}

$c\text{RSS}\sim\chi^2_{n-p}$

c

$c$

В модели OLS мы пишем где - матрица , а в идеале . Для удобства введем шляпную матрицу (note ) и остаточный создатель . Важными свойствами и являются то, что они симметричны и идемпотентны. Кроме того, у нас есть и , они пригодятся позже.

y = X β + ε,

$y=X\beta+\varepsilon,$

X

$X$

n \times p

$n\times p$

ε \sim N_{n} (0, σ^{2} I)

$\varepsilon\sim N_n(\mathbf{0}, \sigma^2I)$

H = X (X^{T} X)^{- 1} X^{T}

$H=X(X^TX)^{-1}X^{T}$

\hat{y} = H y

$\hat{y}=Hy$

M = I - H

$M=I-H$

H

$H$

M

$M$

tr (H) = p

$\operatorname{tr}(H)=p$

H X = X

$HX=X$

Обозначим матрицу всех единиц как , тогда сумма квадратов может быть выражена в квадратичных формах:Заметим , что . Можно проверить, что является идемпотентом и . Как следует из этого то , что также идемпотентная и . $J$

TSS = y^{T} (I - \frac{1}{n} J) y, RSS = y^{T} M y, ESS = y^{T} (H - \frac{1}{n} J) y .

$\text{TSS}=y^T\left(I-\frac{1}{n}J\right)y,\quad\text{RSS}=y^TMy,\quad\text{ESS}=y^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)y.$

M + (H - J / n) + J / n = I

$M+(H-J/n)+J/n=I$

J / n

$J/n$

rank (M) + rank (H - J / n) + rank (J / n) = n

$\operatorname{rank}(M)+\operatorname{rank}(H-J/n)+\operatorname{rank}(J/n)=n$

H - J / n

$H-J/n$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

Теперь мы можем показать, что -статистика имеет -распределение (ищите теорему Кохрана для получения дополнительной информации). Здесь нам нужны два факта: $F$ $F$

Пусть . Предположим, что симметричен с рангом а идемпотентен, тогда , т.е. нецентральный с df и нецентральностью . Это частный случай результата Балдессари , доказательство также можно найти здесь . $x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A$ $r$ $A\Sigma$ $x^TAx\sim\chi^2_r(\mu^TA\mu/2)$ $\chi^2$ $r$ $\mu^TA\mu/2$
Пусть . Если , то и независимы. Это известно как теорема Крейга . $x\sim N_n(\mu,\Sigma)$ $A\Sigma B=0$ $x^TAx$ $x^TBx$

Поскольку , мы имеемОднако, при нулевой гипотезе , так и есть на самом деле . С другой стороны, обратите внимание , что так . Поэтому . Поскольку , и также независимы. Это сразу следует $y\sim N_n(X\beta,\sigma^2I)$

\frac{ESS}{σ^{2}} = {(\frac{y}{σ})}^{T} (H - \frac{1}{n} J) \frac{y}{σ} \sim χ_{p - 1}^{2} ((X β)^{T} (H - \frac{J}{n}) X β) .

$\frac{\text{ESS}}{\sigma^2}=\left(\frac{y}{\sigma}\right)^T\left(H-\frac{1}{n}J\right)\frac{y}{\sigma}\sim\chi^2_{p-1}\left((X\beta)^T\left(H-\frac{J}{n}\right)X\beta\right).$

β = 0

$\beta=\mathbf{0}$

ESS / σ^{2} \sim χ_{p - 1}^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2\sim\chi^2_{p-1}$

y^{T} M y = ε^{T} M ε

$y^TMy=\varepsilon^TM\varepsilon$

H X = X

$HX=X$

RSS / σ^{2} \sim χ_{n - p}^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2\sim\chi^2_{n-p}$

M (H - J / n) = 0

$M(H-J/n)=0$

ESS / σ^{2}

$\text{ESS}/\sigma^2$

RSS / σ^{2}

$\text{RSS}/\sigma^2$

F = \frac{(TSS - RSS) / (p - 1)}{RSS / (n - p)} = \frac{\frac{ESS}{σ^{2}} / (p - 1)}{\frac{RSS}{σ^{2}} / (n - p)} \sim F_{p - 1, n - p} .

$F = \frac{(\text{TSS}-\text{RSS})/(p-1)}{\text{RSS}/(n-p)}=\frac{\dfrac{\text{ESS}}{\sigma^2}/(p-1)}{\dfrac{\text{RSS}}{\sigma^2}/(n-p)}\sim F_{p-1,n-p}.$

— Фрэнсис
источник