Ожидаемое значение ложной корреляции

Мы рисуем выборок, каждый размером , независимо от нормального распределения.n ( μ , σ 2$N$$n$$(\mu,\sigma^2)$

Из выборок мы затем выбираем 2 образца, которые имеют наивысшую (абсолютную) корреляцию Пирсона друг с другом.$N$

Какова ожидаемая ценность этой корреляции?

Спасибо [PS Это не домашняя работа]

Я нашел следующую статью, посвященную этой проблеме: Jiang, Tiefeng (2004). Асимптотические распределения самых больших записей выборочных корреляционных матриц. Анналы прикладной вероятности, 14 (2), 865-880

Цзян показывает асимптотическое распределение статистикигде - корреляция между м и м случайными векторами длины (с ),$L_n = \max_{1\leq i<j\leq N} |\rho_{ij}|$$\rho_{ij}$$i$$j$$n$$i\neq j$

Очевидно, этот результат справедлив для любых распределений распределения с достаточным числом конечных моментов ( Правка: см. Комментарий @ cardinal ниже). Цзян подчеркивает, что это распределение экстремальных ценностей типа I. Расположение и масштаб

Ожидаемое значение EV-распределения типа I равно , где обозначает постоянную Эйлера. Однако, как отмечается в комментариях, конвергенция в распределении сама по себе не гарантирует сближения средств с ограничивающим распределением.$\mu + \sigma \gamma$$\gamma$

Если бы мы могли показать такой результат в этом случае, то асимптотическое ожидаемое значениебыло бы$n L_n^2 -4\log n + \log(\log(n))$

Обратите внимание, что это даст асимптотическое ожидаемое значение наибольшей квадратной корреляции, тогда как в вопросе задается ожидаемое значение наибольшей абсолютной корреляции. Так что не 100% там, а близко.

Я провел несколько кратких симуляций, которые заставили меня подумать: 1) есть проблема с моей симуляцией (вероятно), 2) есть проблема с моей транскрипцией / алгеброй (также вероятно), или 3) аппроксимация недопустима для Значения и я использовал. Возможно, ОП может использовать некоторые результаты моделирования, используя это приближение?$n$$N$

В дополнение к ответу, предоставленному @jmtroos, ниже приведены подробности моего моделирования и сравнение с выводом @ jmtroos ожидания от Jiang (2004) , а именно:

Значения этого ожидания, по-видимому, выше смоделированных значений для малого и ниже для больших и они, как представляется, слегка расходятся при увеличенииОднако при увеличении различия уменьшаются , как и следовало ожидать, поскольку в статье утверждается, что распределение асимптотическое. Я пробовал различные . Моделирование ниже использует . Я довольно новичок в R, поэтому любые советы или предложения по улучшению моего кода будут тепло приветствоваться.N N n n ∈ [ 100 , 500 ] n = $N$$N$$N$$n$$n \in [100,500]$$n=200$

set.seed(1)

ns <- 500
# number of simulations for each N

n <- 200
# length of each vector

mu <- 0
sigma <- 1
# parameters for the distribution we simulate from

par(mfrow=c(5,5))
x<-trunc(seq(from=5,to=n, length=20))
#vector of Ns

y<-vector(mode = "numeric")
#vector to store the mean correlations

k<- 1
#index for y

for (N in x) {
# loop over a range of N

    dt <- matrix(nrow=n,ncol=N)

    J <- vector(mode = "numeric")
    # vector to store the simulated largest absolute 
    # correlations for each N

    for (j in 1:ns) {
    # for each N, simulated ns times    

      for (i in 1:N) {
        dt[,i] <- rnorm(n,mu,sigma)
      }
      # perform the simulation

      M<-matrix(cor(dt),nrow=N,ncol=N)
      m <- M
      diag(m) <- NA
      J[j] <- max(abs(m), na.rm=TRUE)   
      # obtain the largest absolute correlation
      # these 3 lines came from stackoverflow
  }

    hist(J,main=paste("N=",N, " n=",n, " N(0,1)", "\nmean=",round(J[j],4))) 
    y[k]<-mean(J)
    k=k+1
}

lm1 <- lm(y~log(x))
summary(lm1)

logx_sq=log(x)^2
lm2<-lm(y~log(x)+logx_sq)
summary(lm2)
# linear models for these simulations

# Jiang 2004 paper, computation:

gamma = 0.5772
yy <- vector(mode = "numeric")
yy <- sqrt((2*log((x^2)/(sqrt(8*pi)*n^2)) + 2*gamma-(-4*log(n)+log(log(n))))/n)


plot(x,yy)
# plot the simulated correlations
points(x,y,col='red')
# add the points using the expectation