Как распределяется ошибка вокруг данных логистического роста?

В экологии мы часто используем уравнение логистического роста:

или

где - пропускная способность (достигнута максимальная плотность), - начальная плотность, - скорость роста, - время с начальной.Н 0 г $K$$N_0$$r$$t$

Значение имеет мягкую верхнюю границу и нижнюю границу с сильной нижней границей в . ( K ) ( N 0 ) $N_t$$(K)$$(N_0)$$0$

Кроме того, в моем конкретном контексте измерения выполняются с использованием оптической плотности или флуоресценции, которые имеют теоретические максимумы и, следовательно, сильную верхнюю границу.$N_t$

Таким образом, ошибка вокруг вероятно, лучше всего описывается ограниченным распределением.$N_t$

При малых значениях распределение, вероятно, имеет сильный положительный перекос, в то время как при значениях приближающихся к K, распределение, вероятно, имеет сильный отрицательный перекос. Таким образом, распределение, вероятно, имеет параметр формы, который может быть связан с .Н т Н $N_t$$N_t$$N_t$

Дисперсия также может увеличиваться с увеличением .$N_t$

Вот графический пример

с

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

который может быть произведен в г с

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• Каково будет теоретическое распределение ошибок вокруг (с учетом как модели, так и предоставленной эмпирической информации)?$N_t$

• Как параметры этого распределения относятся к значению или времени (если при использовании параметров режим не может быть напрямую связан с например, logis normal)?Н $N_t$$N_t$

• Имеет ли это распределение функцию плотности, реализованную в ?$R$

Направления изучены до сих пор:

• Предполагая нормальность вокруг (приводит к переоценке )$N_t$$K$
• Логит нормальное распределение около , но сложность в параметров формы альфа и бета$N_t/max$
• Нормальное распределение вокруг логики$N_t/max$

Как отметил Майкл Черник, для этого лучше всего подходит масштабная бета-версия. Тем не менее, для всех практических целей, и ожидая, что вы никогда не будетеЧтобы получить правильную модель, вам лучше всего просто моделировать среднее значение с помощью нелинейной регрессии в соответствии с вашим уравнением логистического роста и включать в него стандартные ошибки, устойчивые к гетероскедастичности. Включение этого в контекст максимального правдоподобия создаст ложное чувство высокой точности. Если экологическая теория создаст распределение, вы должны соответствовать этому распределению. Если ваша теория только дает предсказание для среднего, вы должны придерживаться этой интерпретации и не пытаться придумать что-то большее, например, полномасштабное распределение. (Система кривых Пирсона была определенно причудливой 100 лет назад, но случайные процессы не следуют дифференциальным уравнениям для получения кривых плотности, что было его мотивацией с этими кривыми плотности - скорее,$N_t$ себе - я думаю о распределении Пуассона в качестве примера - и я не совсем уверен, что этот эффект будет отражен в масштабном бета-распределении; напротив, оно будет сжиматься, когда вы тянете среднее к его теоретической верхней границе, что вам, возможно, придется сделать. Если ваше измерительное устройство имеет верхнюю границу измерений, это не означает, что ваш фактический процессдолжен иметь верхнюю границу; Я бы скорее сказал, что ошибка измерения, вносимая вашими устройствами, становится критической, так как процесс достигает этой верхней границы при измерении достаточно точно. Если вы путаете измерение с базовым процессом, вы должны признать это явно, но я думаю, что вы заинтересованы в этом процессе больше, чем в описании работы вашего устройства. (Процесс начнется через 10 лет; могут появиться новые измерительные приборы, поэтому ваша работа устареет.)

@whuber правильно, что нет необходимой связи структурной части этой модели с распределением ошибок. Таким образом, нет ответа на ваш вопрос для теоретического распределения ошибок.

Это не значит, что это не очень хороший вопрос - просто ответ должен быть в основном эмпирическим.

Вы, кажется, предполагаете, что случайность аддитивна. Я не вижу никакой причины (кроме удобства вычислений), чтобы это имело место. Есть ли альтернатива, что в модели есть случайный элемент? Например, см. Ниже, где случайность представлена ​​как Нормально распределенная со средним значением 1, дисперсия - единственное, что нужно оценить. У меня нет оснований думать, что это правильная вещь, кроме того, что она дает правдоподобные результаты, которые, кажется, соответствуют тому, что вы хотите увидеть. Было бы целесообразно использовать что-то подобное в качестве основы для оценки модели, я не знаю.

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))