Могут ли две случайные величины иметь одинаковое распределение, но почти наверняка различаться?

21

Возможно ли, что две случайные переменные имеют одинаковое распределение, и все же они почти наверняка различаются?

distributions probability

38

Пусть и определим . Нетрудно доказать, что . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Но

п {ω : Икс (ω) знак равно Y (ω)} знак равно п {ω : Икс (ω) знак равно 0, Y (ω) знак равно 0} \leq п {ω : Икс (ω) знак равно 0} знак равно 0,

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Следовательно, и различаются с вероятностью один. $X$ $Y$

— Zen
источник

18

Этот же прием работает гораздо более широко и даже в тех случаях, которые могут «казаться» более простыми для человека, впервые столкнувшегося с предметом. Например, рассмотрим и где - случайная величина Бернулли, вероятность успеха которой равна .

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

— кардинал

24

Любая пара независимых случайных величин и имеющих одинаковое непрерывное распределение, дает контрпример. $X$ $Y$

На самом деле, две случайные величины, имеющие одинаковое распределение, даже не обязательно определены в одном и том же вероятностном пространстве, поэтому вопрос вообще не имеет смысла.

— Стефан Лоран
источник

3

(+1) Ваш второй пункт, в частности, является важным и, как только вы поймете, поможет выяснить различия в двух задействованных концепциях.

— кардинал

-1

$X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

— RRBaldino
источник

Добро пожаловать на наш сайт. Не могли бы вы уточнить, в каком смысле ваш пост отвечает на вопрос в этой теме и показать, чем он отличается от ответа, данного Дзен (и комментария @Cardinal к этому ответу )?

— whuber