Рассмотрим дискретные распределения. Тот, который поддерживается для значений , определяется неотрицательными вероятностями при условии, что (a) они суммируют с 1 и (b) коэффициент асимметрии равен 0 (что эквивалентно третьему центральному моменту, равному нулю). Это оставляет степени свободы (в смысле решения уравнений, а не в статистическом!). Мы можем надеяться найти решения, которые будут одномодальными.x 1 , x 2 , … , x k p 1 , p 2 , … , p k k - 2КИкс1, х2, … , ХКп1, р2, … , РКк - 2
Чтобы упростить поиск примеров, я искал решения, поддерживаемые на небольшом симметричном векторе с уникальным режимом , среднее значение 0 и нулевой асимметрии. Одним из таких решений является .0 ( p 1 , … , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 , 1235 ) / 75600х =(-3,-2,-1,0,1,2,3)0( р1, … , Р7) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 , 1235 ) / 75600
Вы можете видеть, что это асимметрично.
Вот более очевидно асимметричное решение с (которое асимметрично) и :p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108х =(-3,-1,0,1,2)р = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108
Теперь очевидно, что происходит: поскольку среднее значение равно , отрицательные значения вносят и в третий момент, в то время как положительные значения дают и , точно уравновешивая отрицательные вклады. Мы можем взять симметричное распределение около , такое как с , и немного сдвинуть массу с до , немного массы от до и небольшое количество массы до( - 3 ) 3 = - 27 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 4 × 2 3 = 32 13 × 1 3 = 13 0 x = ( - 1 , 0 , 1 ) p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 + 1 + 2 + 1 - 10( - 3 )3= - 2718 × ( - 1 )3= - 184 × 23= 3213 × 13= 130х =(-1,0,1)p=(1,4,1)/6+1+2+1−10 0−3поддерживая среднее значение и асимметрию , создавая асимметрию. Тот же подход будет работать для поддержания нулевого среднего и нулевой асимметрии непрерывного распределения, делая его асимметричным; если мы не будем слишком агрессивны с массовым перемещением, оно останется унимодальным.00
Изменить: непрерывные распределения
Поскольку проблема продолжает возникать, давайте приведем явный пример с непрерывным распределением. У Питера Флома была хорошая идея: взглянуть на смеси нормалей. Смесь двух нормалей не подойдет: когда ее асимметрия исчезнет, она будет симметричной. Следующий простейший случай - это смесь трех нормалей.
Смеси трех нормалей после соответствующего выбора местоположения и масштаба зависят от шести реальных параметров и, следовательно, должны обладать более чем достаточной гибкостью для получения асимметричного решения с нулевой асимметрией. Чтобы найти их, нам нужно знать, как вычислить асимметрии смесей нормалей. Среди них мы будем искать любые унимодальные (возможно, их нет).
Теперь, вообще говоря, (нецентральный) момент стандартного нормального распределения равен нулю, когда нечетно, и в противном случае равен . Когда мы изменяем масштаб этого стандартного нормального распределения на стандартное отклонение , момент умножается на . Когда мы сдвигаем любое распределение на , новый момент может быть выражен через моменты вплоть до включительно rrthr σrthσrμrthr2r/2Γ(1−r2)/π−−√σргоσрμргор, Момент смеси распределений (то есть их средневзвешенное значение) является таким же средневзвешенным значением отдельных моментов. Наконец, асимметрия равна нулю именно тогда, когда третий центральный момент равен нулю, и это легко вычисляется в терминах первых трех моментов.
Это дает нам алгебраическую атаку на проблему. Одно решение, которое я нашел, - это равная смесь трех нормалей с параметрами равными , и . Его среднее значение равно . Это изображение показывает pdf синим цветом, а pdf дистрибутива переворачивает его среднее значение красным цветом. То, что они отличаются, показывает, что они оба асимметричны. (Режим приблизительно , что не соответствует среднему значению .) Они оба имеют нулевую асимметрию по конструкции .( 0 , 1 ) ( 1 / 2 , 1 ) ( 0 , √( μ , σ)( 0 , 1 )( 1 / 2 , 1 )(0+1/2+0)/3=1/60,05192161/6( 0 , 127 / 18------√) ≈ ( 0 , 2.65623 )( 0 + 1 / 2 + 0 ) / 3 = 1 / 60.05192161 / 6
Графики показывают, что они унимодальны. (Вы можете проверить, используя исчисление, чтобы найти локальные максимумы.)