Нахождение MLE для одномерного экспоненциального процесса Хоукса

Одномерный экспоненциальный процесс Хоукса - это саморегулирующийся точечный процесс со скоростью поступления событий:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

где - время прибытия события.$t_1,..t_n$

Функция логарифмического правдоподобия

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

который можно вычислить рекурсивно:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Какие численные методы я могу использовать, чтобы найти MLE? Какой самый простой практический метод для реализации?

Симплексный алгоритм Nelder-Mead, кажется, работает хорошо. Он реализован в Java библиотекой Apache Commons Math по адресу https://commons.apache.org/math/ . Я также написал статью о процессах Хоукса в точечных моделях процессов для многомерных высокочастотных неравномерно распределенных данных .

Феликс, используя преобразования exp / log, похоже, обеспечивает позитивность параметров. Что касается небольшой альфы, поищите на arxiv.org статью «Предельные теоремы для почти нестабильных процессов Хоукса».

Я решил эту проблему с помощью библиотеки nlopt . Я обнаружил, что ряд методов сходятся довольно быстро.

Вы также можете сделать простую максимизацию. В R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)