Почему закон больших чисел не применяется в случае цены акций Apple?

Вот статья в Нью-Йорк Таймс под названием «Apple противостоит закону больших чисел» . Он пытается объяснить рост цены акций Apple, используя закон больших чисел. Какие статистические (или математические) ошибки делает эта статья?

Суть в том, что Apple настолько велика, что сталкивается с законом больших чисел.

Закон, также известный как золотая теорема, с доказательством, приписанным швейцарскому математику 17-го века Якобу Бернулли, гласит, что переменная будет возвращаться к среднему значению по большой выборке результатов. Что касается крупнейших компаний, то это предполагает, что высокий рост прибыли и быстрый рост цен на акции будут замедляться по мере того, как эти компании будут расти все больше.

Этот сумбурный беспорядок на самом деле относится к трем различным явлениям!

1. (Различные) законы больших чисел являются фундаментальными в теории вероятностей для характеристики ситуаций, в которых разумно ожидать, что большие выборки дадут все более качественную информацию о процессе или популяции, которые отбираются. Действительно, Джейкоб Бернулли был первым, кто осознал необходимость сформулировать и доказать такую ​​теорему, которая появилась в его посмертном « Арсе Конъектанди» в 1713 году (под редакцией племянника Николая Бернулли).

   Нет очевидного действительного применения такого закона к росту Apple.

2. Регрессия к среднему была впервые признана Фрэнсисом Гальтоном в 1880-х годах. Однако среди бизнес-аналитиков это часто недооценивают. Например, в начале 1933 года (в разгар Великой депрессии) Гораций Секрист опубликовал свое великое произведение « Триумф посредственности в бизнесе». В этом он обильно исследовал деловые временные ряды и нашел, в каждом случае, доказательства регрессии к среднему значению. Но, не признавая это как неизбежное математическоеявление, он утверждал, что он раскрыл основную истину развития бизнеса! Эта ошибка, заключающаяся в том, что мы принимаем чисто математическую модель за результат какой-то основной силы или тенденции (сейчас ее часто называют «ошибкой регрессии»), напоминает процитированный отрывок.

   (Примечательно, что Secrist был выдающимся статистиком, автором одного из самых популярных учебников по статистике, опубликованных в то время. На JSTOR вы можете найти раздирающий обзор Триумфа » Гарольда Хотеллинга, опубликованный в JASA в конце 1933 года. Последующий обмен письмами с Secrist, писал Хотеллинг

   Мой обзор ... был в основном посвящен предупреждению читателей не делать вывод о том, что коммерческие фирмы имеют тенденцию становиться посредственными ... "Доказать" такой математический результат дорогостоящим и длительным численным исследованием ... аналогично доказательству умножения таблица, расположив слонов в строках и столбцах, а затем сделав то же самое для многих других видов животных. Представление, хотя, возможно, и занимательное, и имеет определенную педагогическую ценность, не является важным вкладом ни в зоологию, ни в математику.

   [JASA Vol. 29, № 186 (июнь 1934 г.), стр. 198 и 199].)

   Нью - Йорк Таймс проход , кажется, делает ту же ошибку с бизнес - данными Apple.

3. Однако, если мы продолжим читать в статье, мы вскоре обнаружим предполагаемое значение автора:

   Если цена акций компании Apple выросла еще на 20 процентов в год в течение следующего десятилетия, что намного ниже текущей пузырей темпами, его $ 500 млрд рыночной капитализации будет более чем $ 3 трлн 2022.

   Это, конечно, утверждение об экстраполяции экспоненциального роста. Как таковой, он содержит отголоски мальтузианских прогнозов населения . Однако опасность экстраполяции не ограничивается экспоненциальным ростом. Марк Твен (Сэмюэль Клементс) привел в порядок бессмысленные экстраполяторы в фильме «Жизнь на Миссисипи» (1883, глава 17):

   Теперь, если бы я хотел быть одним из тех тяжеловесных научных людей и «позволить» доказать ... что произойдет в далеком будущем тем, что произошло в последние годы, какая здесь возможность! ... Пожалуйста, обратите внимание: -

   За сто семьдесят шесть лет Нижний Миссисипи укоротил себя на двести сорок две мили. Это в среднем мелочи за одну милю и треть за год. Поэтому любой спокойный человек, который не является слепым или идиотом, может увидеть, что в «древнеолитском силурийском периоде», всего миллион лет назад, в ноябре следующего года, река Нижний Миссисипи была длиной более одного миллиона трехсот тысяч миль и застряла. над Мексиканским заливом, как удочка. И точно так же любой человек может увидеть, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь длину всего в милю и три четверти, и Каир и Новый Орлеан будут объединять свои улицы вместе и будут комфортно дойти под единый мэр и общая коллегия олдерменов. В науке есть что-то захватывающее.Получается такая оптовая отдача от догадок из такого незначительного фактического вложения. »

   (Выделение добавлено.) Сатира Твена выгодно отличается от цитаты из статьи бизнес-аналитика Роберта Кихры:

   Если вы экстраполируете достаточно далеко в будущее, для поддержания этого роста Apple придется продавать iPhone всем мужчинам, женщинам, детям, животным и камням на планете.

   (К сожалению, похоже, что Цихра не прислушивается к своему собственному совету: он оценивает эту акцию как «покупку». Возможно, он прав, не по существу, а в силу теории великого дурака .)

Если мы возьмем эту статью для обозначения «остерегайтесь экстраполировать предыдущий рост в будущее», мы многое получим из этого. Инвесторы, которые считают эту компанию удачной покупкой, потому что ее отношение PE низкое (включая нескольких известных управляющих деньгами, указанных в статье), ничуть не лучше, чем «тяжеловесные научные люди», которые Твен вертел более века назад.

Лучшее знакомство с Бернулли, Хотеллингом и Твеном улучшило бы точность и удобочитаемость этой статьи, но, в конце концов, похоже, все правильно поняло.

Как ни странно, я только что написал сообщение в блоге на эту тему: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

По сути, закон больших чисел заключается в том, что по мере увеличения числа испытаний случайного процесса среднее значение этих испытаний будет приближаться к фактическому среднему значению (или ожиданию для более сложных распределений). Так что, если вы подбрасываете монету один раз и получаете голову, ваша вероятность голов = 1,0, а когда вы подбрасываете все больше и больше монет, вы приближаетесь все ближе к 0,50.

Автор утверждает, что у Apple будут проблемы в будущем из-за чего-то, что на самом деле вообще не связано с Законом больших чисел. А именно, по мере того, как Apple становится все больше, в абсолютном долларовом выражении становится все труднее достичь такого же процентного увеличения цены акций, прибыли и т. Д. По сути, чтобы идти в ногу со временем, Apple должна получать все больше и больше хитов.

Чтобы связать это с поведением случайного процесса, сходящегося к среднему, требуется серьезная умственная гимнастика. Насколько я могу судить, утверждение заключается в том, что «удивительность ваших продуктов» - это случайный процесс, и хотя у Apple была полоса «выше среднего», они в конечном итоге должны будут приблизиться к среднему значению «среднего уровня». ». Но это действительно очень благотворительно для автора.

Тот факт, что 500 миллиардов - это большое число, не означает, что на него действует «закон больших чисел».

Нет оснований полагать, что изменение цены акций определенной компании с течением времени представляет собой независимые, одинаково распределенные случайные величины.