Переменная индикатора для двоичных данных: {-1,1} против {0,1}

Я заинтересован в лечебно-ковариат взаимодействий в контексте экспериментов / рандомизированных контролируемых исследований, с бинарным назначения лечения индикатора . $T$

В зависимости от конкретного метода / источника, я видел как и для обработанных и необработанных субъектов соответственно. $T=\{1,0\}$ $T=\{1, -1\}$

Есть ли эмпирическое правило, когда использовать или ? $\{1,0\}$ $\{1, -1\}$

Чем отличается интерпретация?

binary-data categorical-encoding

— cecefuss
источник

FWIW ... Эта первая ссылка предоставляет довольно полный обзор различных схем кодирования ... ats.ucla.edu/stat/r/library/contrast_coding.htm Во второй ссылке обсуждается индикаторное (фиктивное), эффектное и ортогональное (контрастное) кодирование ... faculty.cas.usf.edu/mbrannick/regression/anova1.html

— Майк Хантер,

Ответы:

Интерпретация как оценки переменной индикатора, так и точки пересечения отличается. Давайте начнем с : $\{1,0\}$

Скажем, у вас есть следующая модель

y_{i} = β_{0} + t r e a t m e n t \cdot β_{1}

$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$

где

t r e a t m e n t = {\begin{cases} 0 & if placebo \\ 1 & if drug \end{cases}

$treatment = \begin{cases} 0 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$

В этом случае вы получите следующие формулы для : $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} β_{0} + 0 \cdot β_{1} = β_{0} & if placebo \\ β_{0} + 1 \cdot β_{1} = β_{0} + β_{1} & if drug \end{cases}

$y_i = \begin{cases} \beta_0 + 0\cdot\beta_1 = \beta_0 & \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$

Таким образом, интерпретация - это эффект плацебо, а интерпретация - это разница между эффектом плацебо и эффектом препарата. По сути, вы можете интерпретировать как улучшение, которое предлагает препарат. $\beta_0$ $\beta_1$ $\beta_1$

Теперь давайте посмотрим на : $\{-1,1\}$

Затем у вас есть следующая модель (снова):

y_{i} = β_{0} + t r e a t m e n t \cdot β_{1}

$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$

но где

t r e a t m e n t = {\begin{cases} - 1 & if placebo \\ 1 & if drug \end{cases}

$treatment = \begin{cases} -1 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$

В этом случае вы получите следующие формулы для : $y_i$

y_{i} = {\begin{cases} β_{0} + - 1 \cdot β_{1} = β_{0} - β_{1} & if placebo \\ β_{0} + 1 \cdot β_{1} = β_{0} + β_{1} & if drug \end{cases}

$y_i = \begin{cases} \beta_0 + -1\cdot\beta_1 = \beta_0 - \beta_1& \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$

Интерпретация здесь заключается в том, что представляет собой среднее значение эффекта плацебо и лекарственного средства, а представляет собой разницу двух обработок с этим значением. $\beta_0$ $\beta_1$

Так что вы используете?

Интерпретация в $\beta_0$ является в основном базовой линией. Вы устанавливаете какой-то стандартный курс лечения, а все остальные процедуры (их может быть несколько) сравниваются с этим стандартом / базовым уровнем. Особенно, когда вы начинаете добавлять другие ковариаты, это остается легко интерпретировать в отношении стандартного медицинского вопроса: как эти препараты сравниваются с плацебо или установленным препаратом? $\{0,1\}$

Но, в конце концов, все зависит от толкования, которое я объяснил выше. Таким образом, вы должны оценить свои гипотезы и проверить, какая интерпретация делает вывод выводов наиболее простым.

— JAD
источник

Константа при использовании кодирования -1, 1 представляет собой среднее значение, если количество респондентов в группе, получавшей лечение, равно количеству респондентов в контрольной группе.

— Мартен Буис

@MaartenBuis Это среднее значения

тогда и только тогда конструкция сбалансирована, но в остальном она по- прежнему представляет собой среднее из этих двух групп средств, что является то , что я имел в виду. Я изменил формулировку, чтобы отразить это.

y

$y$

— JAD

Полезно. Я всегда стараюсь использовать слово « индикатор», а не « фиктивный» (как в оригинальном вопросе!), По крайней мере, по двум причинам. Во-первых, я слышал слишком много историй, в которых презентации были очень плохими, потому что такие термины, как «гендерный манекен», были дико неверно истолкованы как унижающие или оскорбительные для менее технических людей. Во-вторых, термин « пустышка» делает все устройство похожим на выдумку или уловку, тогда как это совершенно чистый и элегантный метод. У меня нет особых шансов изменить укоренившиеся практики в некоторых областях, но здесь мы пытаемся.

— Ник Кокс

Согласен, это звучит более профессионально. Плюс это лучшее описание того, что он на самом деле делает.

— JAD

Рад, что вы согласны. Вот простой способ объяснить: он называется индикатором, потому что он указывает!

— Ник Кокс

В контексте линейной регрессии $x_i \in \{0, 1\}$ является более естественным (и стандартным) методом для кодирования двоичных переменных (будь то размещение их в левой части правой части регрессии). Как объясняет @Jarko Dubbeldam, вы, конечно, можете использовать другую интерпретацию, и значение коэффициентов будет другим.

Чтобы привести пример другим способом, кодирование выходных переменных является стандартным при программировании или получении математической основы $y_i \in \{-1, 1\}$ машин опорных векторов . (При вызове библиотек вы хотите передать данные в формате, который ожидает библиотека, что, вероятно, является формулировкой 0,1).

Попробуйте использовать стандартное обозначение для всего, что вы делаете / используете.

Для любого типа линейной модели с членом-перехватчиком оба метода будут эквивалентны в том смысле, что они связаны простым линейным преобразованием. Математически не имеет значения, используете ли вы матрицу данных или матрицу данных где - полный ранг. В обобщенных линейных моделей, ваши оценки коэффициентов либо образом будут связаны линейным преобразованием и подогнанные значения будут одинаковыми. $X$ $\tilde{X} = XA$ $A$ $A$ $\hat{y}$

— Мэтью Ганн
источник

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

y_{i} \in {- 1, 1}

$y_i\in\{-1,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

@matthewgunn Автор говорит о ковариатах, то есть о входах, а не о выходах. {-1, 1} имеет смысл для вспомогательных векторов для вывода, но не имеет значения для ввода. Смотрите здесь: en.wikipedia.org/wiki/Support_vector_machine#Linear_SVM

— Франциско Арсео

@FranciscoArceo Point принято; Я отредактировал, чтобы быть более точным.

— Мэттью Ганн,

Это более абстрактно (и, возможно, бесполезно), но я отмечу, что эти два представления в математическом смысле фактически являются представлениями группы, и между ними существует изоморфизм.

$T$ $T_1$ $T_2$ $T_1 \Leftrightarrow T_2$ $\mathbb{Z}_2$ ${1,0}$ ${1,-1}$ $a \Leftrightarrow b = 1 - (a+b)$ $a \Leftrightarrow b = ab$ $\phi(a) = 2*a-1$

$p$ $T$ $T \Leftrightarrow T'$ $p' \Leftrightarrow p = pp' + (1-p)(1-p')$ $t(p) = 2p-1$ $t \Leftrightarrow t' = tt'$ $t$

— jwimberley
источник

Это впечатляет, но я нахожу достаточным отметить, что любое допустимое соответствие между {-1, 1} и {0, 1} должно быть одно к одному: нет необходимости вызывать что-либо, кроме математики средней школы. Мы обязательно говорим об одной и той же информации, просто закодированной по-разному.

— Ник Кокс