Почему естественные изменения в журнале являются процентными изменениями? Как насчет журналов, которые делают это так?

43

Может кто-нибудь объяснить, как свойства журналов делают это таким образом, чтобы вы могли вести линейные регрессии, где коэффициенты интерпретируются как процентные изменения?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
источник

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , а равно 1 плюс процентное изменение.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Дифференцирование уравнения относительно X1, я думаю, помогает нам ответить на этот вопрос лучше, чем рассмотрение последовательных выражений.

— Чарльз

45

Для и близких друг к другу, процентное изменение приблизительно соответствует разнице в журнале . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

Почему процентное изменение приблизительно соответствует разнице в журнале?

Идея исчисления состоит в том, что вы можете аппроксимировать гладкую функцию линией. Линейное приближение - это просто первые два члена ряда Тейлора . Разложение Тейлора первого порядка вокруг определяется как: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$

Правая часть упрощается до следовательно:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Таким образом, для в окрестности 1 мы можем приблизить линией Ниже представлен график и . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Пример: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Теперь рассмотрим две переменные и такие что . Тогда разница в журнале приблизительно равна процентному изменению : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

Процентное изменение является линейной аппроксимацией логарифмической разности!

Зачем регистрировать различия?

Часто, когда вы думаете с точки зрения сложения процентных изменений, математически более чистая концепция состоит в том, чтобы думать с точки зрения логарифмических различий. Когда вы многократно умножаете термины, часто удобнее работать в журналах и вместо этого добавлять термины вместе.

Допустим, наше богатство в момент времени определяется как: Тогда было бы удобнее написать: где . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Где процентные изменения и разница журнала НЕ одинаковы?

Для больших процентных изменений логарифмическая разница не совпадает с процентным изменением, потому что аппроксимация кривой линией становится все хуже и хуже, чем дальше вы получаете от . Например: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Какая разница в журнале в этом случае?

Один из способов думать об этом состоит в том, что разница в журналах .47 эквивалентна накоплению 47 различных .01 журналов различий, что составляет приблизительно 47 1% изменений, которые все составлены вместе.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Затем возведите в степень обе стороны, чтобы получить:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Логарифмическая разница, равная .47, приблизительно равна 47 разным сложным увеличениям на 1%, или даже лучше, 470 разным сложным увеличениям на 0,1% и т. Д.

Несколько ответов здесь делают эту идею более явной.

— Мэтью Ганн
источник

+1, в надежде, что запланированное продолжение этого ответа обсудит условия, когда приближение нарушается.

— whuber

4

+1. Чтобы добавить незначительную точку, от 1,6 до 1 - это уменьшение на 37,5%, от 1 до 1,6 - на 60%, логарифмическая разница 0,47 не зависит от направления изменения и всегда находится в диапазоне от 0,375 до 0,6. Когда мы не знаем или не заботимся о направлении изменений, разница в журнале может быть альтернативой взятию средних двухпроцентных изменений, даже если процентное изменение велико.

— Пол

9

Вот версия для чайников ...

У нас есть модель - простая прямая линия через облако данных - и мы знаем, что как только мы оценим коэффициенты, увеличение на предыдущего значения будет приведет к увеличению значения значения с как . Но единицы могут фактически быть бессмысленными в абсолютных значениях. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Таким образом, мы можем вместо этого изменить модель на (совершенно новые коэффициенты). Теперь для того же увеличения блока в , у нас есть изменение $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Чтобы увидеть последствия для изменения в процентах, мы можем возвести в степень : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ - относительное изменение, и из , процентное изменение. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

Ключ к ответу на этот вопрос заключается в том, чтобы увидеть, что для небольших значений , что равносильно использованию первых двух членов разложения Тейлора, которое Мэтью использовал, но это время ( ряд Маклаурина ) оценивается как ноль, потому что мы работаем с показателями, а не с логарифмами: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

или с в качестве переменной : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

так около нуля (мы оценили разложение полинома в ноль, когда мы делали ряд Тейлора). Визуально, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Антони Пареллада
источник

Ваш ответ совершенно ясен: нам нужны небольшие коэффициенты, чтобы можно было интерпретировать логарифмическую разницу как процентное изменение, но ответ @aksakal показывает, что нам нужны только небольшие изменения (то есть lim Δx --> 0). Можете ли вы объяснить, как эти два эквивалентны?

— towi_parallelism

7

Скажем, у вас есть модель Возьмите производную от журнала:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Теперь вы можете видеть, что наклон теперь представляет собой наклон относительного изменения : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Если бы у вас не было лог-преобразования, вы бы получили наклон абсолютного изменения : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

Я не заменял на чтобы подчеркнуть, что это работает для небольших изменений. $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Аксакал
источник

4

Есть много хороших объяснений в настоящих ответах, но вот еще одно, сформулированное с точки зрения финансового анализа начисления процентов на первоначальные инвестиции. Предположим, у вас есть начальная сумма в одну единицу, которая начисляет проценты по (номинальной) ставке в год , причем проценты «составляются» в течение периодов в году. В конце одного года стоимость этих первоначальных инвестиций одной единицы: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Чем чаще этот процент «усугубляется», тем больше денег вы получаете на свои первоначальные инвестиции (поскольку накапливание означает, что вы получаете проценты на свой интерес). Принимая предел как мы получаем "непрерывно сложный процент", который дает: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Взятие логарифмов обеих сторон дает , что означает, что логарифм отношения конечных инвестиций к первоначальным инвестициям представляет собой непрерывно увеличивающуюся процентную ставку. Из этого результата мы видим, что логарифмические различия в результатах временных рядов можно интерпретировать как непрерывно усугубляющиеся темпы изменений . (Эта интерпретация также оправдывается ответом Аксакала , но настоящая работа дает вам другой взгляд на это.) $r = \ln I(\infty)$

— Восстановить Монику
источник