Вывод замены переменных функции плотности вероятности?

В книге распознавания образов и машинного обучения (формула 1.27) она дает

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ где$x=g(y)$,$p_x(x)$ - это pdf, соответствующий$p_y(y)$ отношению к изменению переменной.

В книгах говорится, что это потому, что наблюдения, попадающие в диапазон $(x, x + \delta x)$ , при малых значениях $\delta x$ будут преобразованы в диапазон $(y, y + \delta y)$ .

Как это происходит формально?

---

Обновление от Дилипа Сарватэ

Результат верен только в том случае, если $g$ является строго монотонной возрастающей или убывающей функцией.

---

Некоторое незначительное изменение в ответе Л. В. Рао поэтому, если

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$монотонно возрастает f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) ⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ если монотонно убывающий FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$