Кто создал первую стандартную нормальную таблицу?

Я собираюсь представить стандартную нормальную таблицу в своем классе вводной статистики, и это заставило меня задуматься: кто создал первую стандартную нормальную таблицу? Как они это делали до появления компьютеров? Мне страшно подумать, что кто-то перебор вычисляет тысячу римановых сумм вручную.

Лаплас был первым, кто осознал необходимость табуляции, придумав следующее приближение:

Первая современная таблица нормального распределения была позже построена французским астрономом Кристианом Крампом в « Анализе астрономических и космических исследований» («Par le citoyen Kramp», «Эксперт по физкультуре и физическому искусству», 1799 г.) , Из таблиц, относящихся к нормальному распределению: краткая история Автор (ы): Герберт А. Дэвид Источник: Американский статистик, Vol. 59, № 4 (ноябрь 2005 г.), с. 309-311 :

Честно говоря, Крамп дал восемь десятичных ( D) таблиц до D до D до и от D до вместе с различиями, необходимыми для интерполяции. Записывая первые шесть производных он просто использует разложение в ряд Тейлора относительно с вплоть до члена вЭто позволяет ему шаг за шагом переходить от к умножая на$8$$x = 1.24,$ $9$$1.50,$ $10$$1.99,$$11$$3.00$$G(x),$$G(x + h)$$G(x),$$h = .01,$$h^3.$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,\dots,$$h\,e^{-x^2}$

$$1-hx+ \frac 1 3 \left(2x^2 - 1\right)h^2 - \frac 1 6 \left(2x^3 - 3x\right)h^3.$$ Таким образом, при это произведение уменьшается до так что при$x = 0$ $$.01 \left(1 - \frac 1 3 \times .0001 \right) = .00999967,$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725.$

Но ... насколько точным он мог быть? Хорошо, давайте возьмем в качестве примера:$2.97$

Удивительно!

Давайте перейдем к современному (нормализованному) выражению гауссовского pdf:

PDF :$\mathscr N(0,1)$

где . И, следовательно, .$z = \frac{x}{\sqrt{2}}$$x = z \times \sqrt{2}$

Итак, давайте перейдем к R и посмотрим на ... ОК, не так быстро. Во-первых, мы должны помнить, что когда есть постоянная, умножающая показатель степени в показательной функции , интеграл будет разделен на этот показатель степени: . Поскольку мы стремимся воспроизвести результаты в старых таблицах, мы фактически умножаем значение на , которое должно появиться в знаменателе.$P_Z(Z>z=2.97)$$e^{ax}$$1/a$$x$$\sqrt{2}$

Далее, Кристиан Крамп не нормализовал, поэтому мы должны соответствующим образом исправить результаты, заданные R, умножив на . Окончательная коррекция будет выглядеть так:$\sqrt{2\pi}$

В приведенном выше случае и . Теперь давайте перейдем к R:$z=2.97$$x=z\times \sqrt{2}=4.200214$

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05

Фантастика!

Давайте пойдем на вершину таблицы для развлечения, скажем, ...$0.06$

z = 0.06
(x = z * sqrt(2))

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988

Что говорит Крамп? .$0.82629882$

Так близко...

Дело в том ... насколько близко, точно? После всех полученных голосов я не мог оставить фактический ответ без ответа. Проблема заключалась в том, что все приложения оптического распознавания символов (OCR), которые я пробовал, были невероятно отключены - неудивительно, если вы взглянули на оригинал. Итак, я научился ценить Кристиана Крампа за упорство его работы, так как лично набирал каждую цифру в первом столбце его таблицы «Премьера» .

После некоторой ценной помощи от @Glen_b, теперь она вполне может быть точной, и она готова скопировать и вставить на консоль R в этой ссылке GitHub .

Вот анализ точности его расчетов. Готовьтесь ...

1. Абсолютная кумулятивная разница между значениями [R] и приближением Крампа:

$0.000001200764$ - в ходе вычисления ему удалось накопить ошибку примерно в миллионную!$301$$1$

2. Средняя абсолютная ошибка (MAE) илиmean(abs(difference))сdifference = R - kramp:

$0.000000003989249$ - он в среднем совершил невероятно нелепую -миллиардную ошибку!$3$

На записи, в которой его расчеты были наиболее расходящимися по сравнению с [R], первое разное десятичное значение было на восьмой позиции (сто миллионов). В среднем (медиана) его первой «ошибкой» была десятая десятичная цифра (десятая миллиардная!). И хотя он ни в коем случае не полностью соглашался с [R], ближайшая запись не расходится до тринадцати цифровых записей.

3. Средняя относительная разница или mean(abs(R - kramp)) / mean(R)(такая же как all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)):

$0.00000002380406$

4. Среднеквадратическая ошибка (RMSE) или отклонение (придает больший вес крупным ошибкам), рассчитывается какsqrt(mean(difference^2)):

$0.000000007283493$

Если вы найдете изображение или портрет Кристиана Крампа, пожалуйста, отредактируйте этот пост и разместите его здесь.

Согласно HA Дэвида [1], Лаплас признал необходимость таблиц нормального распределения «еще в 1783 году», и первая нормальная таблица была произведена Крампом в 1799 году.

Лаплас предложил две серии приближений, одно для интеграла от до из (которое пропорционально нормальному распределению с дисперсией ) и одно для верхнего хвоста.$0$$x$$e^{-t^2}$$\frac{_1}{^2}$

Тем не менее, Крамп не использовал эти серии Лапласа, так как в промежутках между ними можно было с пользой применять их.

Фактически он начинает с интеграла для области хвоста от 0, а затем применяет разложение Тейлора к последнему вычисленному интегралу - то есть, вычисляя новые значения в таблице, он сдвигает своего разложения Тейлора (где - интеграл, дающий верхнюю область хвоста).$x$$G(x+h)$$G$

Чтобы быть конкретным, цитируя соответствующую пару предложений:

он просто использует разложение в ряд Тейлора относительно , с , до слагаемого в . Это позволяет ему шаг за шагом переходить от к , после умножения наТаким образом, при это произведение уменьшается до так что при , Следующий член слева от (4) может быть показан как , так что его пропуск оправдан.$G(x + h)$$G(x)$$h = .01$$h^3$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,...$$he^{-x^2}$х=0.01(1-

$$1-hx+ \frac13(2x^2 - 1)h^2 - \frac16(2x^3 - 3x)h^3.$$ $x = 0$G ( .01 ) = .88622692 - .00999967 = .87622725 10 - $$.01 (1 - \frac13 \times .0001 ) = .00999967,\qquad\qquad (4)$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725$$10^{-9}$

Дэвид указывает, что таблицы широко использовались.

Таким образом, вместо тысяч сумм Римана это были сотни расширений Тейлора.

На более мелкой ноте, в крайнем случае (застряв только с калькулятором и несколькими запомненными значениями из обычной таблицы), я довольно успешно применил правило Симпсона (и связанные с ним правила для численного интегрирования), чтобы получить хорошее приближение при других значениях; это не все , что утомительно для получения сокращенных таблиц * до нескольких цифр точности. [Создание таблиц масштаба и точности Крампа было бы довольно большой задачей, хотя, даже используя более умный метод, как он сделал.]

* Под сокращенной таблицей я подразумеваю одну, в которой вы можете просто избежать интерполяции между табличными значениями, не теряя слишком много точности. Если вы хотите сказать, что точность составляет около 3 цифр, вам не нужно вычислять все эти значения. Я эффективно использовал полиномиальную интерполяцию (точнее, примененную методику конечных разностей), которая учитывает таблицу с меньшим количеством значений, чем линейная интерполяция - если несколько больше усилий на этапе интерполяции, - а также выполнил интерполяцию с логит-преобразованием, которое делает линейную интерполяцию значительно более эффективной, но очень полезна, если у вас есть хороший калькулятор).

[1] Герберт А. Дэвид (2005),
«Таблицы, связанные с нормальным распределением: краткая история»,
Американский статистик , Vol. 59, № 4 (ноябрь), с. 309-311

[2] Крамп (1799), «
Анализ астрономических и космических исследований»,
Лейпциг: Швиккерт.

Интересная проблема! Я думаю, что первая идея не пришла через интеграцию сложной формулы; скорее результат применения асимптотики в комбинаторике. Ручка и бумага метод может занять несколько недель; Карл Гаусс не так уж и жесток по сравнению с расчетом пирога для своих предшественников. Я думаю, что идея Гаусса была смелой; расчет был легок для него.

Пример создания стандартной таблицы z с нуля.
1. Возьмите совокупность из n (скажем, n равно 20) чисел и перечислите все возможные выборки размера r (скажем, r равно 5).
2. рассчитать образец средства. Вы получаете nCr примерное средство (здесь 20c5 = 15504 означает).
3. Их среднее значение совпадает со средним для населения. Найдите образец образца средства.
4. Найти z оценок выборочных средних, используя эти поп-средние и стандартные значения выборочных средних.
5. Сортируйте z в порядке возрастания и найдите вероятность того, что z находится в диапазоне значений nCr z.
6. Сравните значения с обычными таблицами. Меньшее n хорошо для ручных расчетов. Чем больше n, тем ближе приблизительные значения нормальных таблиц.

Следующий код находится в r:

n <- 20  
r <- 5  

p <- sample(1:40,n)  # Don't be misled!! Here, 'sample' is an r function  
                     used to produce n random numbers between 1 and 40.  
                     You can take any 20 numbers, possibly all different.  

c <- combn(p, r)     # all the nCr samples listed  
cmean <- array(0)  

for(i in 1:choose(n,r)) {  
    cmean[i] <- mean(c[,i])  
                }  

z <- array(0)  
for(i in 1:choose(n,r)) {  
    z[i] <- (cmean[i]-mean(c))/sd(cmean)  
                }  

ascend <- sort(z, decreasing = FALSE)  

Вероятность падения z между 0 и положительным значением q ниже; сравнить с известной таблицей. Манипулируйте q ниже от 0 до 3,5 для сравнения.

q <- 1  
probability <- (length(ascend[ascend<q])-length(ascend[ascend<0]))/choose(n,r)   
probability   # For example, if you use n=30 and r=5, then for q=1, you  
              will get probability is 0.3413; for q=2, prob is 0.4773